🎓 8. sınıf Aralarında Asal Doğal Sayılar Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf öğrencilerinin "Aralarında Asal Doğal Sayılar" konusundaki bilgilerini pekiştirmek ve test sorularını çözerken karşılaşabilecekleri temel kavramları, özellikleri ve çözüm stratejilerini kapsamaktadır. Konunun tanımından başlayarak, önemli özelliklerine, EBOB ile ilişkisine ve problem çözme tekniklerine kadar geniş bir yelpazede bilgi sunulmaktadır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınız için ideal bir kaynaktır. 🚀

Aralarında Asal Sayılar Nedir? 🤔

İki veya daha fazla doğal sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Başka bir deyişle, bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) 1'dir.

• Örnek: 8 ve 15 sayılarını inceleyelim.
  • 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
  • 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15
  Gördüğümüz gibi, 8 ve 15'in ortak böleni sadece 1'dir. Bu yüzden 8 ve 15 aralarında asaldır.

Aralarında Asal Olup Olmadığını Nasıl Anlarız? 🔍

İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için iki temel yöntem kullanabiliriz:

• Yöntem 1: Ortak Bölenleri Listeleme
  Sayıların tüm bölenlerini yazın ve 1'den başka ortak bölen olup olmadığını kontrol edin. Eğer yoksa, aralarında asaldır. Bu yöntem küçük sayılar için daha pratiktir.
  Örnek: 10 ve 21
  10'un bölenleri: 1, 2, 5, 10
  21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21
  Ortak bölenleri sadece 1 olduğu için 10 ve 21 aralarında asaldır.
• Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırma
  Sayıları asal çarpanlarına ayırın. Eğer iki sayının asal çarpanları arasında hiç ortak olan yoksa, bu sayılar aralarında asaldır. Bu yöntem büyük sayılar için daha etkilidir.
  Örnek: 12 ve 35
  

  12 = $2^2 \times 3$
  35 = $5 \times 7$

  Ortak asal çarpanları (2, 3, 5, 7) olmadığı için 12 ve 35 aralarında asaldır.

Aralarında Asal Sayıların Önemli Özellikleri ve İpuçları ✨

• 1 sayısı ile tüm doğal sayılar (sıfır hariç) aralarında asaldır. Çünkü 1'in tek böleni 1'dir.
• Farklı iki asal sayı her zaman aralarında asaldır. Örnek: 7 ve 11.
• Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır. Örnek: 14 ve 15, 99 ve 100.
• Ardışık iki tek doğal sayı her zaman aralarında asaldır. Örnek: 21 ve 23, 33 ve 35.
• İki sayının aralarında asal olması için kendilerinin asal sayı olması gerekmez. Örnek: 8 ve 9 (ikisi de asal değil ama aralarında asal).
• Eğer iki sayı aralarında asalsa, bu sayıların EBOB'u (En Büyük Ortak Bölen) her zaman 1'dir.
• Bir kesri en sade haline getirdiğimizde, pay ve payda her zaman aralarında asal sayılar olur. Örnek: $\frac{30}{42}$ kesrini sadeleştirdiğimizde $\frac{5}{7}$ elde ederiz. Burada 5 ve 7 aralarında asaldır.
• İki sayının farkı (veya toplamı) ile sayılardan biri arasındaki ilişki: Eğer $a$ ve $b$ aralarında asalsa, $a$ ve $a+b$ de aralarında asaldır. Daha genel olarak, $EBOB(a, b) = EBOB(a, a+b) = EBOB(a, b-a)$ şeklinde bir kural vardır. Bu kural, $a$ ve $a+k$ gibi ifadelerde çok işe yarar: $EBOB(a, a+k) = EBOB(a, k)$. Yani, $a$ ve $a+3$ sayılarının aralarında asal olması için $a$ ve 3 sayılarının da aralarında asal olması gerekir. Bu da $a$'nın 3'ün katı olmaması demektir.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar ve Sık Yapılan Hatalar!

• "Asal" ile "Aralarında Asal" Kavramlarını Karıştırma: Bir sayının asal olması, sadece 1 ve kendisine bölünebilmesi demektir (örneğin 2, 3, 5, 7...). Aralarında asal olması ise, iki sayının ortak böleninin sadece 1 olması demektir. İki kavram farklıdır ve karıştırılmamalıdır.
• Çift Sayılar: Ardışık iki çift sayı (örneğin 4 ve 6, 10 ve 12) asla aralarında asal olamazlar, çünkü ikisi de en az 2'ye bölünür. Yani ortak bölenleri 1'den farklı olarak 2 de vardır.
• Bölünebilme Kurallarını Kullanma: Özellikle büyük sayılarla uğraşırken asal çarpanlara ayırmak yerine, 2, 3, 5 gibi küçük asal sayılarla bölünebilme kurallarını hızlıca kontrol etmek zaman kazandırır. Örneğin, iki sayıdan biri 3'e bölünüyorsa, diğerinin 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol edin.
• Soruyu Dikkatli Oku: "Aralarında asal değildir", "hangisi olamaz" veya "yanlıştır" gibi olumsuz ifadeler içeren sorulara özellikle dikkat edin. Cevap seçeneğini bulduktan sonra bir kez daha kontrol edin.
• Sistematik Kontrol: Özellikle birden fazla seçeneği denemen gereken sorularda (örneğin 'a' değerini bulma veya şifre oluşturma), her bir seçeneği veya olasılığı dikkatlice ve sırayla kontrol etmek, hata yapma olasılığını azaltır.

Problem Çözme İpuçları 🧠

• Verilenleri Anla: Soruda hangi sayılar verilmiş, ne isteniyor? Örneğin, iki sayının toplamı verilmişse, o toplama ulaşan tüm sayı çiftlerini düşün ve sonra aralarında asal olup olmadıklarını kontrol et.
• Şıkları Değerlendir: Çoktan seçmeli sorularda, şıkları tek tek deneyerek doğru cevaba ulaşmak pratik bir yöntem olabilir. Bu, özellikle "hangisi olabilir/olamaz" türündeki sorularda işe yarar.
• Asal Çarpanları Belirle: Özellikle bir sayının (örneğin 12 veya 54) asal çarpanlarını (12 = $2^2 \times 3$, 54 = $2 \times 3^3$) başta belirlemek, diğer sayılarla ortak bölen olup olmadığını anlamayı kolaylaştırır. Eğer diğer sayı bu asal çarpanlardan herhangi birine bölünüyorsa, aralarında asal değildir.
• Soyut İfadeler: '4a' gibi iki basamaklı sayılarda 'a' yerine 0'dan 9'a kadar rakamları koyarak olası sayıları dene. 'a' ve 'a+3' gibi ifadelerde ise $EBOB(a, a+3) = EBOB(a, 3)$ kuralını hatırla. Bu, $a$'nın 3'ün katı olmaması gerektiğini gösterir.
• Oran ve EBOB İlişkisi: $\frac{a}{b} = \frac{X}{Y}$ şeklinde bir ifade verildiğinde ve $a, b$ aralarında asal deniyorsa, bu kesrin en sade halini bulmanız gerektiğini unutmayın. Bu durumda $a$ ve $b$ en sade haldeki pay ve payda olacaktır.

Bu ders notları, "Aralarında Asal Doğal Sayılar" konusundaki bilginizi sağlamlaştırmanıza ve testlerdeki başarı şansınızı artırmanıza yardımcı olacaktır. Bol şans! 🍀