Giriş: Sayıların Gizemli Dünyasına Yolculuk! 🚀

Merhaba sevgili 6. sınıf öğrencileri! Bugün matematiğin en eğlenceli ve günlük hayatta sıkça karşımıza çıkan konularından biri olan "Ortak Katlar ve Ortak Bölenler" dünyasına dalacağız. Bu konuda ustalaştığınızda, birçok problemi kolayca çözebildiğinizi göreceksiniz. Hazırsanız, başlayalım! 🌟

1. Doğal Sayıların Çarpanları (Bölenleri) Nedir? 🤔

Bir doğal sayıyı kalansız bölen her doğal sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Aslında çarpan ve bölen aynı anlama gelir. Her doğal sayı, kendisinin ve 1'in çarpanıdır.

• Örnek: 12 sayısının çarpanlarını bulalım. Hangi sayılar 12'yi kalansız böler?
• $1 \times 12 = 12$
• $2 \times 6 = 12$
• $3 \times 4 = 12$
• Demek ki 12'nin çarpanları (bölenleri) 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.

2. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma ✨

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayı da 2'dir.

• Örnek Asal Sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
• Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak demek, o sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmak demektir. Bunun için genellikle "çarpan ağacı" veya "asal çarpanlar algoritması" (bölme çizgisi) yöntemini kullanırız.
• Örnek: 30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
• Bölme çizgisi yöntemi:
• $30 \div 2 = 15$
• $15 \div 3 = 5$
• $5 \div 5 = 1$
• Yani, $30 = 2 \times 3 \times 5$ 'tir. Buradaki 2, 3 ve 5, 30'un asal çarpanlarıdır.

3. Ortak Bölenler ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🤝

İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan bölenlerine ortak bölenler denir. Bu ortak bölenlerin en büyüğüne ise En Büyük Ortak Bölen (EBOB) adı verilir. EBOB, bazen OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) olarak da karşımıza çıkabilir.

• EBOB Nasıl Bulunur?
• 1. Yöntem (Bölenleri Listeleyerek): Sayıların tüm bölenleri bulunur, ortak olanlar seçilir ve en büyüğü belirlenir.
• Örnek: 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulalım.
• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
• En büyük ortak bölen (EBOB): 6
• 2. Yöntem (Asal Çarpanlar Algoritması ile): Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlayarak ortak bölenler işaretlenir. Tüm sayıları bölen asal sayıların çarpımı EBOB'u verir.
• Örnek: 24 ve 36 sayılarının EBOB'unu bulalım.
• $24 \quad 36 \quad | \quad 2 \quad \text{(Her ikisini böldü, işaretle!)}$
• $12 \quad 18 \quad | \quad 2 \quad \text{(Her ikisini böldü, işaretle!)}$
• $6 \quad 9 \quad | \quad 2 \quad \text{(Sadece 6'yı böldü)}$
• $3 \quad 9 \quad | \quad 3 \quad \text{(Her ikisini böldü, işaretle!)}$
• $1 \quad 3 \quad | \quad 3 \quad \text{(Sadece 3'ü böldü)}$
• $1 \quad 1$
• İşaretlediğimiz asal sayıları çarparsak: $2 \times 2 \times 3 = \mathbf{12}$. Demek ki EBOB(24, 36) = 12'dir.
• EBOB'u günlük hayatta nerede kullanırız? Büyük bir bütünü eş ve daha küçük parçalara ayırma, kumaşları eşit büyüklükte kesme, tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikme gibi problemlerde EBOB kullanılır. 🌳

4. Ortak Katlar ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🔄

İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan katlarına ortak katlar denir. Bu ortak katların en küçüğüne ise En Küçük Ortak Kat (EKOK) adı verilir. EKOK, bazen OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) olarak da karşımıza çıkabilir.

• EKOK Nasıl Bulunur?
• 1. Yöntem (Katları Listeleyerek): Sayıların katları bulunur, ortak olanlar seçilir ve en küçüğü belirlenir.
• Örnek: 4 ve 6 sayılarının EKOK'unu bulalım.
• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, ...
• Ortak katlar: 12, 24, ...
• En küçük ortak kat (EKOK): 12
• 2. Yöntem (Asal Çarpanlar Algoritması ile): Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlayarak tüm asal çarpanlar bulunana kadar bölünür. Bölme çizgisinin sağındaki tüm asal sayıların çarpımı EKOK'u verir.
• Örnek: 10 ve 15 sayılarının EKOK'unu bulalım.
• $10 \quad 15 \quad | \quad 2$
• $5 \quad 15 \quad | \quad 3$
• $5 \quad 5 \quad | \quad 5$
• $1 \quad 1$
• Sağdaki tüm asal sayıları çarparsak: $2 \times 3 \times 5 = \mathbf{30}$. Demek ki EKOK(10, 15) = 30'dur.
• EKOK'u günlük hayatta nerede kullanırız? Farklı zamanlarda tekrar eden olayların ne zaman tekrar bir araya geleceğini bulma (otobüslerin aynı anda kalkması, zillerin aynı anda çalması), küçük parçalardan büyük bir bütün oluşturma (kare fayanslardan dikdörtgen zemin oluşturma) veya merdiven basamakları gibi problemlerde EKOK kullanılır. 🚌🔔

5. EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki 🔗

İki doğal sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, o iki sayının çarpımına eşittir. Bu önemli bir kuraldır! 💡

• Eğer iki sayı $a$ ve $b$ ise, o zaman:
• $\mathbf{a \times b = EBOB(a,b) \times EKOK(a,b)}$
• Örnek: EBOB(12, 18) = 6 ve EKOK(12, 18) = 36 olduğunu biliyoruz.
• $12 \times 18 = 216$
• $EBOB(12,18) \times EKOK(12,18) = 6 \times 36 = 216$
• Gördüğünüz gibi, sonuçlar birbirine eşit!

6. EBOB ve EKOK Problemleri: Ne Zaman Hangisini Kullanmalıyız? 🤔❓

Problem çözerken EBOB mu, EKOK mu kullanacağımıza karar vermek bazen zor olabilir. İşte size ipuçları:

• EBOB Problemleri (Küçültme, Ayırma, Eşit Parçalama):
• Büyük bir bütünden küçük, eşit parçalar elde ediliyorsa.
• "En büyük", "en uzun", "en geniş", "eşit aralıklarla", "hiç artmayacak şekilde" gibi ifadeler geçiyorsa.
• Örnek: Farklı uzunluktaki çubukları eşit ve en uzun parçalara ayırmak.
• Örnek: Bidonlardaki sıvıları birbirine karıştırmadan eşit hacimli şişelere doldurmak.

• EKOK Problemleri (Büyütme, Birleştirme, Tekrar Etme):
• Küçük parçalardan büyük bir bütün oluşturuluyorsa.
• Farklı zamanlarda gerçekleşen olayların ne zaman tekrar bir araya geleceği soruluyorsa.
• "En küçük", "en az", "ilk kez birlikte", "bir sonraki karşılaşma", "kare oluşturma", "merdiven basamakları" gibi ifadeler geçiyorsa.
• Örnek: İki otobüsün aynı anda hareket edip, tekrar ne zaman aynı anda hareket edeceklerini bulmak.
• Örnek: Kenar uzunlukları verilen dikdörtgen fayanslarla en küçük kare zemini oluşturmak.
• Örnek: Bir merdiveni hem ikişer ikişer hem de üçer üçer çıkıp inebiliyorsak, basamak sayısı hem 2'nin hem de 3'ün bir katı olmalıdır. Bu durumda basamak sayısı 2 ve 3'ün ortak katı, yani EKOK(2,3) = 6'nın bir katı olmalıdır.

Özet ve Unutulmaması Gerekenler! ✅

• Çarpan (Bölen): Bir sayıyı kalansız bölen sayılar.
• Asal Sayı: 1'den büyük, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılar (2, 3, 5, 7...).
• EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayı. Problemlerde genellikle ayırma, küçültme durumlarında kullanılır.
• EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğü. Problemlerde genellikle birleştirme, tekrar etme durumlarında kullanılır.
• EBOB ve EKOK İlişkisi: İki sayının çarpımı, EBOB'ları ile EKOK'larının çarpımına eşittir. $\mathbf{a \times b = EBOB(a,b) \times EKOK(a,b)}$

Bu konuları iyi kavradığınızda, karşınıza çıkacak tüm EBOB ve EKOK problemlerini rahatlıkla çözebileceksiniz. Bol bol alıştırma yapmayı unutmayın! Başarılar! 🎉📚