Verilen soruyu adım adım çözelim:

• 1. Adım: Sayının 10 ile bölümünden kalanı kullanma
• Beş basamaklı 591ab sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 ise, sayının son basamağı (b) 7 olmalıdır.
• Yani, b = 7.
• Sayı artık 591a7 şeklindedir.
• 2. Adım: Sayının 3 ile bölünebilme kuralını uygulama
• Bir sayı 3 ile kalansız bölünebiliyorsa, rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
• 591a7 sayısının rakamları toplamı: \(5 + 9 + 1 + a + 7 = 22 + a\).
• Bu toplamın 3'ün katı olması gerekmektedir.
• 3. Adım: 'a' için olası değerleri bulma
• 'a' bir rakam olduğu için \(0 \le a \le 9\) olmalıdır.
• \(22 + a\) ifadesinin 3'ün katı olması için 'a' yerine yazılabilecek değerler:
  • Eğer \(a = 2\) ise, \(22 + 2 = 24\) (3'ün katı).
  • Eğer \(a = 5\) ise, \(22 + 5 = 27\) (3'ün katı).
  • Eğer \(a = 8\) ise, \(22 + 8 = 30\) (3'ün katı).
• Dolayısıyla, 'a' için olası değerler {2, 5, 8}'dir.
• 4. Adım: a + b işleminin en fazla kaç olabileceğini bulma
• Bizden \(a + b\) işleminin en fazla kaç olabileceği isteniyor.
• 'b' değerini 7 olarak bulmuştuk.
• 'a' değerini en büyük seçmeliyiz ki \(a + b\) en büyük olsun. 'a' için en büyük değer 8'dir.
• O halde, \(a + b = 8 + 7 = 15\).

Cevap C seçeneğidir.