Merhaba sevgili 9. sınıf öğrencileri!

Matematik dersinin temel konularından biri olan "Mantık" ünitesinin ilk adımı olan "Önermeler" konusu, sağlam bir matematik temeli oluşturmanız için çok önemlidir. Bu ders notu, "9. Sınıf Önermeler Test 2" testindeki soruları temel alarak, önermelerle ilgili bilmeniz gereken tüm kritik noktaları ve ipuçlarını kapsayacak şekilde hazırlandı. Amacımız, bu konuyu eksiksiz bir şekilde anlamanızı ve sınavlarınızda başarılı olmanızı sağlamaktır.

Özet

Bu test, önermenin tanımı, doğruluk değeri, bir önermenin değili (olumsuzu), denk önermeler ve n tane önermenin doğruluk durumları gibi temel kavramları ölçmektedir. Konuyu iyi kavradığınızda, bu testteki tüm soruları rahatlıkla çözebileceksiniz.

Önerme Nedir?

• Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin bir hüküm bildirmesi ve bu hükmün doğru ya da yanlış olduğunun net bir şekilde belirlenebilmesi gerekir.
• Önermeler genellikle p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir.
• Örnek: "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." (Doğru bir hüküm, önermedir.)
• Örnek: "2 + 3 = 5." (Doğru bir hüküm, önermedir.)
• Örnek: "En büyük asal sayı 10'dur." (Yanlış bir hüküm, ama yine de önermedir.)

⚠️ Dikkat: Aşağıdaki ifadeler önerme değildir:

• Soru cümleleri: "Bugün hava nasıl?"
• Emir cümleleri: "Kapıyı kapat!"
• Dilek/istek cümleleri: "Keşke sınav kolay olsa."
• Ünlem cümleleri: "Yaşasın!"
• Göreceli (öznel) ifadeler: "En güzel renk mavidir.", "Matematik öğretmenimizin gözleri çok güzel.", "Tren yolculuğu, uçak yolculuğundan daha iyidir." Bu tür ifadeler kişiden kişiye değiştiği için kesin bir doğru veya yanlış değeri taşımazlar.

Önermenin Doğruluk Değeri

• Bir önerme doğru ise doğruluk değeri 1 (D), yanlış ise doğruluk değeri 0 (Y) ile gösterilir.
• Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, onun önerme olma özelliğini değiştirmez. Önemli olan, kesin bir hüküm bildirmesi ve bu hükmün doğru veya yanlış olduğunun belirlenebilir olmasıdır.
• Örnekler:
  • "7 bir rakamdır." (Doğru, doğruluk değeri 1)
  • "74 sayısı 5 ile tam bölünür." (Yanlış, doğruluk değeri 0)
  • "Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dir." (Doğru, doğruluk değeri 1)
  • "51 sayısı asaldır." (Yanlış, çünkü 51 = 3 x 17, doğruluk değeri 0)

💡 İpucu: Doğruluk değerini belirlerken, matematiksel veya genel bilgiye dayalı ifadelerin doğruluğunu dikkatlice kontrol edin. Özellikle sayı kümeleri (doğal sayı, tam sayı, asal sayı vb.) ve temel geometri bilgileri sıkça kullanılır.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

• Bir p önermesinin değili (olumsuzu), p önermesinin tam tersi durumu ifade eden önermedir ve p' veya ~p ile gösterilir.
• Bir önerme doğru ise değili yanlıştır, yanlış ise değili doğrudur. Yani, p ≡ 1 ise p' ≡ 0; p ≡ 0 ise p' ≡ 1'dir.
• Değilini alırken kullanılan ifadeler:
  • "..." dir" ifadesinin değili "..." değildir".
  • "..." vardır" ifadesinin değili "..." yoktur".
• Matematiksel sembollerin değilleri:
  • "=" (eşittir) işaretinin değili "≠" (eşit değildir).
  • "<" (küçüktür) işaretinin değili "≥" (büyük veya eşittir).
  • ">" (büyüktür) işaretinin değili "≤" (küçük veya eşittir).
  • "≤" (küçük veya eşittir) işaretinin değili ">" (büyüktür).
  • "≥" (büyük veya eşittir) işaretinin değili "<" (küçüktür).
• Örnek:
  • p: "π - √2 farkı 1'den büyüktür." (π ≈ 3.14, √2 ≈ 1.41, fark ≈ 1.73, yani p doğru.)
  • p': "π - √2 farkı 1'den büyük değildir." veya "π - √2 farkı 1'den küçük veya 1'e eşittir." (p' yanlış.)
• Bir önermenin değilinin değili kendisidir: (p')' ≡ p.

Denk Önermeler

• Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir.
• p ve q önermeleri denk ise p ≡ q şeklinde gösterilir.
• Yani, p doğru (1) ise q da doğru (1) olmalı; p yanlış (0) ise q da yanlış (0) olmalıdır.
• Örnek:
  • p: "En küçük tam sayı 0'dır." (Yanlış, doğruluk değeri 0)
  • q: "15 sayısı asaldır." (Yanlış, çünkü 15 = 3 x 5, doğruluk değeri 0)
  • Bu durumda p ≡ q'dur, çünkü ikisinin de doğruluk değeri 0'dır.

n Tane Önermenin Doğruluk Durumları

• Bir önermenin 2 farklı doğruluk değeri (doğru veya yanlış) olabilir.
• n tane farklı önermenin birbirine göre 2ⁿ farklı doğruluk durumu vardır.
• Örnek:
  • 1 önerme için 2¹ = 2 durum (p: 0 veya 1)
  • 2 önerme için 2² = 4 durum (p,q: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1))
  • 6 tane farklı önermenin 2⁶ = 64 farklı doğruluk durumu vardır.

⚠️ Dikkat: "Birbirinin değili olmayan" ifadesi, önermelerin birbirinden bağımsız olduğunu ve her birinin kendi başına 2 farklı doğruluk değeri alabileceğini vurgular. Bu durum, 2ⁿ formülünün doğrudan uygulanabileceği anlamına gelir.

Bu ders notları, önermeler konusunun temelini oluşturmaktadır. Her bir başlığı dikkatlice okuyup anlamaya çalışın. Özellikle örnekleri inceleyerek konuyu pekiştirin. Başarılar dilerim!