9. Sınıf Mantık Test 3 (Orta)

Soru 1 / 16

🎓 9. Sınıf Mantık Test 3 (Orta) - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 9. sınıf mantık konularının temelini oluşturan önermeler, mantık bağlaçları, doğruluk tabloları, bileşik önermelerin sadeleştirilmesi, koşullu önermenin özellikleri ve açık önermeler gibi kritik başlıkları kapsamaktadır. Bu konuları iyi anlamak, mantık sorularını çözerken sağlam bir temel oluşturacaktır.

1. Önermeler ve Doğruluk Değerleri 🤔

Bir yargı bildiren ve doğru ya da yanlış kesin bir değer alan ifadelere önerme denir.
Önermeler genellikle p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir.
Bir önermenin doğru olması durumunda doğruluk değeri 1 (D), yanlış olması durumunda ise 0 (Y) ile gösterilir.
Örnek: "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." önermesi doğrudur, doğruluk değeri 1'dir.
Örnek: "2 + 3 = 6" önermesi yanlıştır, doğruluk değeri 0'dır.

⚠️ Dikkat: Soru, emir, ünlem cümleleri veya belirsiz ifadeler önerme değildir. "Kapıyı kapat!" veya "Ne kadar güzelsin!" gibi ifadeler önerme olamaz.

2. Temel Mantık Bağlaçları 🔗

a. Değil (Olumsuzu) (') 🚫

Bir önermenin hükmünü değiştiren bağlaçtır. p önermesinin değili p' ile gösterilir.
p doğru ise p' yanlış, p yanlış ise p' doğrudur.
Doğruluk Tablosu:
p | p'
--|---
1 | 0
0 | 1
Örnek: p: "Bugün hava güneşlidir." ise p': "Bugün hava güneşli değildir."

b. Ve (^) Bağlacı 🤝

İki önermenin birlikte doğru olmasını gerektiren bağlaçtır. p ve q önermelerinin "ve" bağlacıyla birleşimi p ^ q ile gösterilir.
p ^ q önermesi, ancak ve ancak her iki önerme de doğru iken doğrudur. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.
Doğruluk Tablosu:
p | q | p ^ q
--|---|-----
1 | 1 | 1
1 | 0 | 0
0 | 1 | 0
0 | 0 | 0
Örnek: "Hem ders çalıştım hem de film izledim." Bu önerme, ancak hem ders çalışıp hem de film izlediyseniz doğrudur.

c. Veya (v) Bağlacı ➕

İki önermeden en az birinin doğru olmasını gerektiren bağlaçtır. p veya q önermelerinin "veya" bağlacıyla birleşimi p v q ile gösterilir.
p v q önermesi, ancak ve ancak her iki önerme de yanlış iken yanlıştır. Diğer tüm durumlarda doğrudur.
Doğruluk Tablosu:
p | q | p v q
--|---|-----
1 | 1 | 1
1 | 0 | 1
0 | 1 | 1
0 | 0 | 0
Örnek: "Bu akşam sinemaya gideceğim veya kitap okuyacağım." Bu önerme, sinemaya gitseniz de, kitap okusanız da, her ikisini de yapsanız da doğrudur. Sadece ikisini de yapmazsanız yanlıştır.

3. Koşullu Önerme (İse) (=>) ➡️

"Eğer p ise q" şeklinde ifade edilen önermedir. p => q ile gösterilir.
p => q önermesi, sadece p doğru ve q yanlış iken yanlıştır (1 => 0 = 0). Diğer tüm durumlarda doğrudur.
Doğruluk Tablosu:
p | q | p => q
--|---|------
1 | 1 | 1
1 | 0 | 0
0 | 1 | 1
0 | 0 | 1
💡 İpucu: Koşullu önermeyi her zaman \( p' \lor q \) şeklinde yazarak işlem kolaylığı sağlayabilirsiniz. Bu denklik çok önemlidir!
Örnek: "Yağmur yağarsa şemsiye alırım." Yağmur yağar (1) ve şemsiye almazsanız (0), bu önerme yanlış olur. Diğer tüm durumlar (yağmur yağar-şemsiye alırım, yağmur yağmaz-şemsiye alırım, yağmur yağmaz-şemsiye almam) için doğrudur.

4. İki Yönlü Koşullu Önerme (Ancak ve Ancak) (<=>) ↔️

"p ancak ve ancak q" şeklinde ifade edilen önermedir. p <=> q ile gösterilir.
p <=> q önermesi, p ve q aynı doğruluk değerine sahipken doğrudur. Farklı doğruluk değerlerine sahipken yanlıştır.
Doğruluk Tablosu:
p | q | p <=> q
--|---|-------
1 | 1 | 1
1 | 0 | 0
0 | 1 | 0
0 | 0 | 1
💡 İpucu: \( p \iff q \) denktir \( (p \implies q) \land (q \implies p) \) ifadesine.
Örnek: "Sınavı geçersin ancak ve ancak ders çalışırsın." Hem sınavı geçip hem ders çalışırsan veya ikisini de yapmazsan doğrudur.

5. Ya da (XOR) (v) Bağlacı 🤼

"p ya da q" şeklinde ifade edilen önermedir. p v q ile gösterilir.
p v q önermesi, p ve q'dan sadece biri doğru iken doğrudur. Her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlış iken yanlıştır.
Doğruluk Tablosu:
p | q | p v q
--|---|---------
1 | 1 | 0
1 | 0 | 1
0 | 1 | 1
0 | 0 | 0
💡 İpucu: \( p \underline{\lor} q \) denktir \( (p \land q') \lor (p' \land q) \) ifadesine.
Örnek: "Bu akşam çay ya da kahve içeceğim." Sadece birini içerseniz doğrudur. İkisini de içerseniz veya ikisini de içmezseniz yanlıştır.

6. Doğruluk Tabloları 📊

Bileşik önermelerin tüm olası doğruluk değerlerini gösteren tablolardır.
n tane farklı önermenin (p, q, r, ...) 2ⁿ farklı doğruluk durumu vardır.
Tablo oluştururken her bir önermenin ve bağlacın doğruluk değerleri adım adım hesaplanır.
Kritik Nokta: Tabloları dikkatli ve sistematik bir şekilde doldurmak, hata yapma olasılığını azaltır. Özellikle değilleri alırken veya birden fazla bağlaç varken işlem sırasına dikkat edin.

7. Bileşik Önermelerin Özellikleri ve Sadeleştirilmesi ✂️

Mantık bağlaçları arasında cebirsel işlemlere benzer özellikler bulunur. Bu özellikler, karmaşık önermeleri daha basit hallere dönüştürmek için kullanılır.
Tek Kuvvet (Idempotent) Özelliği:
- \( p \lor p \equiv p \)
- \( p \land p \equiv p \)
Değişme Özelliği:
- \( p \lor q \equiv q \lor p \)
- \( p \land q \equiv q \land p \)
Birleşme Özelliği:
- \( (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \)
- \( (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) \)
Dağılma Özelliği:
- \( p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \)
- \( p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \)
De Morgan Kuralları:
- \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
- \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)
Özel Durumlar:
- \( p \lor 0 \equiv p \)
- \( p \lor 1 \equiv 1 \)
- \( p \land 0 \equiv 0 \)
- \( p \land 1 \equiv p \)
- \( p \lor p' \equiv 1 \) (Totoloji)
- \( p \land p' \equiv 0 \) (Çelişki)
- \( (p')' \equiv p \)
💡 İpucu: Sadeleştirme yaparken öncelikle parantez içlerini ve değilleri çözmeye başlayın. De Morgan kurallarını ve \( p \implies q \equiv p' \lor q \) denkliğini sıkça kullanın.

8. Totoloji (Gerektirme), Çelişki ve Olumsallık ✅❌❓

Totoloji (Gerektirme): Bir bileşik önerme, tüm doğruluk değerleri için daima doğru (1) sonuç veriyorsa, bu önermeye totoloji denir.
- Örnek: \( p \lor p' \equiv 1 \)
- Örnek: \( p \implies (p \lor q) \equiv 1 \)
Çelişki: Bir bileşik önerme, tüm doğruluk değerleri için daima yanlış (0) sonuç veriyorsa, bu önermeye çelişki denir.
- Örnek: \( p \land p' \equiv 0 \)
Olumsallık: Bir bileşik önerme, bazı durumlarda doğru, bazı durumlarda yanlış sonuç veriyorsa, bu önermeye olumsallık denir. Ne totoloji ne de çelişkidir.
- Örnek: \( p \lor q \)
⚠️ Dikkat: Bir koşullu önerme \( (p \implies q) \) totoloji ise, p'nin q'yu gerektirdiği söylenir. Yani \( p \Rightarrow q \) şeklinde gösterilir.

9. Koşullu Önermenin Tersi, Karşıtı ve Karşıt Tersi 🔄

Bir \( p \implies q \) koşullu önermesi için:
Tersi: Önermelerin değillerini alarak yerlerini değiştirmeden yazmaktır. Yani \( p' \implies q' \).
Karşıtı: Önermelerin yerlerini değiştirmektir. Yani \( q \implies p \).
Karşıt Tersi: Hem önermelerin yerlerini değiştirmek hem de değillerini almaktır. Yani \( q' \implies p' \).
💡 İpucu: Bir koşullu önerme ile onun karşıt tersi daima denktir \( (p \implies q \equiv q' \implies p') \). Bu önemli bir özelliktir.
Örnek: "Sınavı geçersen mezun olursun." \( (p \implies q) \)
- Tersi: "Sınavı geçemezsen mezun olamazsın." \( (p' \implies q') \)
- Karşıtı: "Mezun olursan sınavı geçersin." \( (q \implies p) \)
- Karşıt Tersi: "Mezun olamazsan sınavı geçemezsin." \( (q' \implies p') \)

10. Açık Önermeler ve Doğruluk Kümeleri 🎯

İçinde değişken (x, y gibi) bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğruluk değeri değişen ifadelere açık önerme denir. Genellikle p(x), q(x, y) gibi gösterilir.
Örnek: p(x): "x bir çift sayıdır."
Bir açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk kümesi denir.
Örnek: p(x): "x + 2 = 5" açık önermesi için x = 3 değeri önermeyi doğru yapar (3 + 2 = 5). Bu durumda p(3) = 1 olur. Doğruluk kümesi {3} olur.

Bu ders notları, mantık konusundaki temel kavramları pekiştirmenize ve testlerde karşılaşacağınız soru tiplerine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır. Bol tekrar ve farklı soru çözümleriyle kendinizi geliştirin! Başarılar dilerim! ✨

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Cevaplanan
Aktif
Boş