ABCD eşkenar dörtgeninde köşegenler [AC] ve [BD]'dir. Eşkenar dörtgenin özelliklerini inceleyelim:

• Tüm kenar uzunlukları eşittir (AB = BC = CD = DA).
• Köşegenler birbirini dik keser ($AC \perp BD$).
• Köşegenler birbirini ortalar (AE = EC, BE = ED).
• Köşegenler, iç açıları ortalar.
• Karşılıklı açılar eşittir ($m(\angle ABC) = m(\angle ADC)$, $m(\angle BAD) = m(\angle BCD)$).

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

A) $\triangle ABE \cong \triangle CDE$

• AE = EC (Köşegenler birbirini ortalar)
• BE = ED (Köşegenler birbirini ortalar)
• $m(\angle AEB) = m(\angle CED) = 90^\circ$ (Köşegenler dik kesişir)

Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre $\triangle ABE \cong \triangle CDE$. Bu ifade doğrudur.

B) $\triangle ABD \cong \triangle CBD$

• AB = CB (Eşkenar dörtgenin kenarları)
• AD = CD (Eşkenar dörtgenin kenarları)
• BD = BD (Ortak kenar)

Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına göre $\triangle ABD \cong \triangle CBD$. Bu ifade doğrudur.

C) $m(\angle CBE) = m(\angle BAE)$

• $m(\angle CBE)$ açısı, $\triangle ABE$ üçgenindeki $m(\angle ABE)$ açısıdır.
• $m(\angle BAE)$ açısı, $\triangle ABE$ üçgenindeki $m(\angle BAE)$ açısıdır.

$\triangle ABE$ bir dik üçgendir ($m(\angle AEB) = 90^\circ$). Bu durumda $m(\angle ABE) + m(\angle BAE) = 90^\circ$ olur. Eğer $m(\angle CBE) = m(\angle BAE)$ olsaydı, bu $m(\angle ABE) = m(\angle BAE)$ anlamına gelirdi. Bu durumda her iki açı da $45^\circ$ olmak zorunda kalırdı. Bu da $\triangle ABE$ üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğu, yani AE = BE olduğu anlamına gelirdi. Ancak eşkenar dörtgende köşegenler birbirine eşit olmak zorunda değildir (sadece karede eşittir). Dolayısıyla AE = BE olmak zorunda değildir. Bu ifade her zaman doğru değildir.

D) $m(\angle ABE) = m(\angle BDC)$

• Köşegenler açıortaydır, bu yüzden $m(\angle ABE) = \frac{1}{2} m(\angle ABC)$.
• Köşegenler açıortaydır, bu yüzden $m(\angle BDC) = \frac{1}{2} m(\angle ADC)$.
• Eşkenar dörtgende karşılıklı açılar eşittir: $m(\angle ABC) = m(\angle ADC)$.

Bu durumda $m(\angle ABE) = m(\angle BDC)$ ifadesi doğrudur.

Yukarıdaki analizlere göre, C seçeneğindeki ifade her zaman doğru olmak zorunda değildir.

Cevap C seçeneğidir.