🎓 7. Sınıf Eşitlik ve Denklem Test 8 - Ders Notu ve İpuçları

Sevgili öğrenciler, bu ders notu "Eşitlik ve Denklem" ünitesindeki temel kavramları, denklem kurma becerilerini ve farklı türdeki denklemleri çözme yöntemlerini pekiştirmeniz için hazırlandı. Ayrıca, bu üniteyle sıkça ilişkilendirilen devirli ondalık sayılar konusuna da kısaca değineceğiz. Sınav öncesi son tekrarınız için harika bir kaynak olacak! 💪

1. Cebirsel İfadeler ve Denklem Kurma ✍️

Matematikte bilinmeyen durumları ifade etmek için harfleri (genellikle x, y, a, b gibi) kullanırız. Bu harflere değişken veya bilinmeyen denir. Cebirsel ifadeler, bu değişkenler ve sayılarla yapılan işlemleri içeren matematiksel ifadelerdir.

• Sözel İfadeleri Cebirsel İfadelere Çevirme: Günlük hayattaki problemleri çözmek için sözel ifadeleri matematik diline, yani cebirsel ifadelere dönüştürmemiz gerekir.
• Bir sayının 3 fazlası: $x + 3$
• Bir sayının 2 katı: $2x$
• Bir sayının 5 eksiğinin 3 katı: $3 \cdot (x - 5)$
• Bir sayının 4 katının 7 fazlası: $4x + 7$
• Denklem Kurma: İki cebirsel ifadenin veya bir cebirsel ifade ile bir sayının eşitliğini gösteren matematiksel ifadelere denklem denir. Denklemler genellikle bir problem durumunu temsil eder ve bilinmeyeni bulmamızı sağlar.
• Örnek: "Hakan'ın yaşı Arda'nın yaşının iki katının üç fazlasıdır." Burada Arda'nın yaşına $x$ dersek, Hakan'ın yaşı $2x + 3$ olur.
• Terazi Modeli: Eşit kollu terazi, denklemleri görselleştirmek için harika bir araçtır. Terazi dengede ise, iki kefedeki ağırlıklar birbirine eşittir. Sol kefedeki toplam ağırlık = Sağ kefedeki toplam ağırlık. Bu, bir denklemin temel prensibidir. ⚖️

⚠️ Dikkat: Sözel ifadeleri cebirsel ifadelere çevirirken işlem sırasına ve parantez kullanımına çok dikkat etmelisin. Örneğin, "bir sayının 5 eksiğinin 3 katı" ile "bir sayının 3 katının 5 eksiği" farklıdır: $3 \cdot (x-5)$ ve $3x-5$.

2. Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü 🧩

Denklem çözmek, bilinmeyenin (x, y, a vb.) değerini bulmak demektir. Amacımız, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

• Temel Denklem Çözme Adımları:
• Adım 1: Eşitliğin her iki tarafında da varsa, parantezleri dağılma özelliği kullanarak aç.
• Adım 2: Aynı türden terimleri (bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa) topla. Bir terim eşitliğin diğer tarafına geçerken işaret değiştirir (artı ise eksi, eksi ise artı olur).
• Adım 3: Bilinmeyenin önündeki katsayıyı yok etmek için eşitliğin her iki tarafını da bu katsayıya böl.
• Örnek: $4x - 3 = 15 + x$
• $4x - x = 15 + 3$ (Bilinmeyenleri sola, sabitleri sağa topladık)
• $3x = 18$
• $x = \frac{18}{3}$
• $x = 6$
• Dağılma Özelliği İçeren Denklemler: Parantez dışındaki bir çarpanı, parantez içindeki her terimle çarpmayı unutma.
• Örnek: $3 \cdot (2x + 1) = 4x + 7$
• $6x + 3 = 4x + 7$
• $6x - 4x = 7 - 3$
• $2x = 4$
• $x = 2$
• Kesirli Denklemler: Paydaları farklı olan kesirli denklemlerde iki ana yöntem kullanabiliriz.
• Payda Eşitleme: Tüm terimlerin paydalarını eşitle ve sonra paydaları atarak denklemi çöz.
• İçler Dışlar Çarpımı: Eğer denklem $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ şeklinde ise, $A \cdot D = B \cdot C$ eşitliğini kullanabilirsin.
• Örnek (Payda Eşitleme): $\frac{x+1}{5} + \frac{x-1}{3} = \frac{3}{2}$
• Paydaları 30'da eşitleyelim: $\frac{6(x+1)}{30} + \frac{10(x-1)}{30} = \frac{45}{30}$
• Paydaları atalım: $6(x+1) + 10(x-1) = 45$
• $6x + 6 + 10x - 10 = 45$
• $16x - 4 = 45$
• $16x = 49$
• $x = \frac{49}{16}$
• Örnek (İçler Dışlar Çarpımı): $\frac{2x-8}{6} = \frac{5-x}{5}$
• $5 \cdot (2x-8) = 6 \cdot (5-x)$
• $10x - 40 = 30 - 6x$
• $10x + 6x = 30 + 40$
• $16x = 70$
• $x = \frac{70}{16} = \frac{35}{8}$
• Denklemin Kökü ve Çözüm Kümesi: Denklemi sağlayan bilinmeyen değerine denklemin kökü denir. Bu kökün oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir ve genellikle küme parantezleri { } içinde gösterilir.

💡 İpucu: Bir denklemi çözdükten sonra bulduğun değeri orijinal denklemde yerine koyarak sonucun doğru olup olmadığını kontrol edebilirsin. Bu, hata yapma olasılığını azaltır! ✅

⚠️ Dikkat: Kesirli denklemlerde payda eşitlerken, paydadaki sayıyı sadece paydaki ilk terimle değil, paydaki tüm terimlerle (parantez içindeymiş gibi) çarpmayı unutma. İşaret hataları da sıkça yapılan hatalardandır.

3. Devirli Ondalık Sayılar 🔄

Devirli ondalık sayılar, virgülden sonra belirli bir rakam veya rakam grubunun sonsuza kadar tekrar ettiği sayılardır.

• Gösterim: Tekrar eden kısmın üzerine bir çizgi çekilerek gösterilir. Örneğin, $2,444...$ sayısı $2,\overline{4}$ olarak yazılır. $2,444...$ sayısı $2,\overline{4}$ olarak yazılır. $2,444...$ sayısı $2,\overline{4}$ olarak yazılır.
• Rasyonel Sayıya Çevirme Kuralı: Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya (kesire) çevirmek için şu formülü kullanırız:
• $\frac{\text{Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi olmadan)} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}}$
• Örnek: $2,\overline{4}$ sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
• Sayının tamamı: 24
• Devretmeyen kısım: 2
• Virgülden sonra devreden basamak sayısı: 1 (sadece 4 devrediyor)
• Virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı: 0
• O zaman: $\frac{24 - 2}{9} = \frac{22}{9}$
• Devirli Ondalık Sayıları Sıralama: Devirli ondalık sayıları sıralarken, devreden kısımları birkaç basamak açarak karşılaştırmak en kolay yoldur.
• Örnek: $a = 2,\overline{4}$, $b = 2,\overline{44}$, $c = 2,\overline{444}$
• $a = 2,444444...$
• $b = 2,444444...$
• $c = 2,444444...$
• Gördüğümüz gibi, bu üç sayı da aslında aynı değeri ifade eder. Yani $a = b = c$.

💡 İpucu: Devirli ondalık sayıları sıralarken, virgülden sonraki basamakları yeterince açtığından emin ol. Bazen ilk birkaç basamak aynı gibi görünebilir ama daha sonraki basamaklarda farklılık ortaya çıkabilir. 🤔

Bu notlar, Eşitlik ve Denklem konusunda karşılaşabileceğin çoğu soruyu çözmene yardımcı olacaktır. Bol pratik yaparak konuları pekiştirmeyi unutma! Başarılar! 🎉