🎓 7. Sınıf Eşitlik ve Denklem Test 6 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf "Eşitlik ve Denklem" ünitesindeki temel kavramları, denklem kurma ve çözme tekniklerini, ayrıca bu bilgileri günlük hayat problemlerinde nasıl uygulayacağını kapsar. Testteki soruların genel yapısını inceleyerek, öğrencilerin en çok zorlandığı noktalara ve dikkat etmeleri gereken kritik bilgilere odaklanılmıştır. Amacımız, bu notlarla sınav öncesi hızlı ve etkili bir tekrar yapmanı sağlamaktır. 🚀

1. Cebirsel İfadelerden Denkleme Geçiş: Matematik Dilini Anlamak 💬

Denklemler, bilinmeyen bir değeri bulmamızı sağlayan matematiksel cümlelerdir. Bu cümleleri kurabilmek için günlük dildeki ifadeleri matematiksel sembollere çevirmeyi öğrenmeliyiz.

• Bilinmeyen Sayı: Genellikle 'x', 'y' veya 'a' gibi harflerle temsil edilir. Bir problemde "hangi sayı", "bir sayı" dendiğinde aklına hemen bir harf gelsin.
• Temel İşlemlerin Karşılıkları:
  • "Bir sayının 3 katı": $3x$
  • "Bir sayının 5 eksiği": $x - 5$
  • "Bir sayının 2 fazlası": $x + 2$
  • "Bir sayının yarısı": $\frac{x}{2}$ veya $x \div 2$
  • "Bir sayının çeyreği": $\frac{x}{4}$ veya $x \div 4$
• İşlem Sırası ve Parantezler: Eğer bir sayının önce eksiği/fazlası alınıp, sonra katı isteniyorsa, parantez kullanmak çok önemlidir.
  • "Bir sayının 4 eksiğinin 3 katı": $3 \cdot (x - 4)$ (Önce 4 eksiği, sonra 3 katı)
  • "Bir sayının 3 katının 4 eksiği": $3x - 4$ (Önce 3 katı, sonra 4 eksiği)

⚠️ Dikkat: "4 eksiğinin 3 katı" ile "3 katının 4 eksiği" ifadeleri farklıdır ve farklı denklemler oluşturur. Parantez kullanımı bu farkı gösterir. İşlem önceliği her zaman parantez içinden başlar. 🧠

2. Denklem Çözme Sanatı: Bilinmeyeni Bulma Yolları 🔍

Denklem çözmek, eşitliğin her iki tarafına da aynı işlemleri uygulayarak bilinmeyeni (x, y, a vb.) yalnız bırakma işlemidir. Amacımız, eşitliği bozmadan bilinmeyenin değerini bulmaktır.

• Eşitliğin Korunumu İlkesi: Bir terazi gibi düşün! Eşitliğin bir tarafına ne yaparsan, dengeyi korumak için diğer tarafına da aynısını yapmalısın.
  • Her iki tarafa aynı sayıyı ekleyebilirsin.
  • Her iki taraftan aynı sayıyı çıkarabilirsin.
  • Her iki tarafı aynı sayı ile çarpabilirsin.
  • Her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıya bölebilirsin.
• Terimlerin Yer Değiştirmesi (Karşıya Atma): Bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işaretini değiştiririz.
  • $x + 5 = 10 \implies x = 10 - 5 \implies x = 5$
  • $x - 3 = 7 \implies x = 7 + 3 \implies x = 10$
• Dağılma Özelliği: Parantez dışındaki bir sayıyı parantez içindeki her terimle çarpmak demektir.
  • $3(x - 4) = 3x - 12$
  • $2(y - 1) = 2y - 2$
• Kesirli Denklemleri Çözme: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ şeklindeki denklemlerde "içler dışlar çarpımı" yaparız. Yani $A \cdot D = B \cdot C$.
  • Örnek: $\frac{3x - 5}{2x - 1} = \frac{4}{5} \implies 5 \cdot (3x - 5) = 4 \cdot (2x - 1)$
• Birden Fazla Denklem: Eğer iki denklemin kökü (çözümü) aynı ise, önce çözebildiğin denklemi çözüp bilinmeyenin değerini bulur, sonra bu değeri diğer denkleme yazarak istenen başka bir bilinmeyeni bulabilirsin.

💡 İpucu: Denklem çözerken bilinmeyenli terimleri (örn. $3x, 4x$) eşitliğin bir tarafına, sabit sayıları (örn. $5, 10$) diğer tarafına toplamaya çalış. Genellikle bilinmeyeni pozitif kalacak tarafa toplamak işini kolaylaştırır. ✨

3. Denklemle Problem Çözme Stratejileri: Hayatı Matematikle Anlamak 🌍

Denklemler, günlük hayattaki birçok problemi çözmek için güçlü bir araçtır. İşte sıkça karşılaşılan problem türleri ve çözüm yaklaşımları:

• Problemi Anlama ve Bilinmeyeni Belirleme:
  • Problemi dikkatlice oku ve neyin sorulduğunu, hangi bilgilerin verildiğini anla.
  • Bilinmeyen değeri bir harfle (x) ifade et.
• Denklem Kurma:
  • Verilen bilgileri ve bilinmeyeni kullanarak matematiksel bir eşitlik yaz.
  • Cümledeki anahtar kelimelere ("eşittir", "toplamı", "farkı", "katı") dikkat et.
• Denklemi Çözme: Öğrendiğin denklem çözme tekniklerini kullanarak bilinmeyenin değerini bul.
• Çözümü Kontrol Etme: Bulduğun değeri orijinal problemdeki yerine koyarak sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol et.

Özel Problem Türleri:

• Ardışık Sayı Problemleri:
  • Ardışık tam sayılar: $x, x+1, x+2, \dots$
  • Ardışık çift sayılar: $x, x+2, x+4, \dots$ (x çift sayı ise)
  • Ardışık tek sayılar: $x, x+2, x+4, \dots$ (x tek sayı ise)

  Örnek: "Ardışık dört tam sayıdan küçüğün 4 katının 5 eksiği ile büyüğün 2 katının 9 fazlası birbirine eşit."

  Sayılar: $x, x+1, x+2, x+3$. Küçüğü $x$, büyüğü $x+3$.

  Denklem: $4x - 5 = 2(x+3) + 9$

• Sınıf/Sıra Problemleri:

  Sınıf mevcudu veya sıra sayısı gibi bilinmeyenleri belirle. Genellikle iki farklı senaryo verilir ve bu senaryolar üzerinden denklemler kurularak eşitlenir.

  Örnek: "Sıralara 2'şerli oturunca 7 öğrenci ayakta kalıyor, 3'erli oturunca 2 sıra boş kalıyor."

  Sıra sayısı $s$ olsun.

  Öğrenci sayısı (1. durum): $2s + 7$

  Öğrenci sayısı (2. durum): $3(s - 2)$ (2 sıra boş kaldığı için $s-2$ sıraya oturulur)

  Denklem: $2s + 7 = 3(s - 2)$

• Terazi ve Kütle Problemleri:

  Eşit kollu terazi dengede ise, iki kefedeki ağırlıklar birbirine eşittir. Bilinmeyen ağırlığı $x$ ile ifade et ve denklemi kur.

  ⚠️ Dikkat: Birimlere dikkat et! Kilogram (kg) ve gram (g) gibi farklı birimler varsa, hepsini aynı birime çevirmeyi unutma. (1 kg = 1000 g) ⚖️

• Hız Problemleri:

  Temel formül: Yol = Hız × Zaman ($x = v \cdot t$)

  Karşılaşma problemlerinde, araçların katettiği yolların toplamı, aralarındaki toplam mesafeye eşittir. Zaman genellikle aynıdır.

  Örnek: "900 km mesafedeki A ve B şehirlerinden birbirine doğru hareket eden araçlar, A'dan 360 km uzakta karşılaşıyor."

  A'dan hareket eden aracın hızı $v_A$, B'den hareket eden aracın hızı $v_B$ olsun. Karşılaşma süresi $t$ olsun.

  A'dan gidenin aldığı yol: $v_A \cdot t = 360$

  B'den gidenin aldığı yol: $v_B \cdot t = 900 - 360 = 540$

  Eğer $v_B = 90$ km/sa ise, $90 \cdot t = 540 \implies t = 6$ saat. Bu zamanı $v_A$ için kullanabiliriz: $v_A \cdot 6 = 360 \implies v_A = 60$ km/sa.

• Kesir Problemleri:

  Bir bütünün (örn. sınıf mevcudu) kesirlerle ifade edilen parçalarını (örn. kız/erkek öğrenci sayısı) denkleme dök.

  Örnek: "Sınıf mevcudu 36. Kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının $\frac{2}{3}$'si."

  Erkek öğrenci sayısı $x$ olsun.

  Kız öğrenci sayısı $\frac{2x}{3}$ olur.

  Toplam öğrenci sayısı: $x + \frac{2x}{3} = 36$

  Bu denklemi çözerek $x$'i (erkek öğrenci sayısını) bulabilir, sonra kız öğrenci sayısını hesaplayabilirsin.

• Günlük Hayat Uygulamaları (Alışveriş, Para Üstü):

  Fiyatları veya miktarları bilinmeyenlerle ifade et. Toplam ödenen miktar veya para üstü üzerinden denklem kur.

  Örnek: "2 kalem, 1 silgi, 1 defter alındı. 50 TL verildi, 8 TL para üstü alındı."

  Kalem fiyatı: $3a$ TL

  Silgi fiyatı: $2a - 1$ TL

  Defter fiyatı: $5a + 4$ TL

  Toplam harcama: $50 - 8 = 42$ TL

  Denklem: $2 \cdot (3a) + (2a - 1) + (5a + 4) = 42$

  $6a + 2a - 1 + 5a + 4 = 42$

💡 İpucu: Problemleri çözerken adım adım ilerle. Önce neyin bilinmediğini belirle, sonra denklemi kur, ardından çöz ve en son cevabını kontrol et. Acele etme! 🐢➡️🐇