🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri Test 5 - Ders Notu ve İpuçları
Bu ders notu, 7. sınıf müfredatında yer alan tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin yanı sıra, bu işlemlerin rasyonel sayılar (kesirler ve ondalık sayılar) üzerindeki uygulamalarını ve ilgili temel kavramları kapsar. İşlem önceliği, sayı doğrusu üzerinde gösterimler, rasyonel sayıların tersleri ve günlük hayat problemlerine yönelik önemli bilgileri içerir. Bu notlar, sınav öncesi hızlı bir tekrar yapman ve önemli noktaları hatırlaman için hazırlandı. Başarılar dileriz! 🚀
1. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️
- İşaret Kuralları: Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir. (Örnek: $(+2) \cdot (+3) = +6$, $(-2) \cdot (-3) = +6$). Farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir. (Örnek: $(+2) \cdot (-3) = -6$, $(-2) \cdot (+3) = -6$)
- Kesirlerle Çarpma: Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Sonuç sadeleştirilebilir. Örnek: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$. Örnek: $(-\frac{2}{3}) \cdot (\frac{5}{7}) = -\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = -\frac{10}{21}$
- Tam Sayılı Kesirlerle Çarpma: Tam sayılı kesirler önce bileşik kesre çevrilir, sonra çarpma işlemi yapılır. Örnek: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$
- Ondalık Sayılarla Çarpma: Ondalık sayılar kesre çevrilerek veya virgül yokmuş gibi çarpılıp sonra virgül kaydırılarak yapılabilir. Örnek: $-0.5 \cdot (-\frac{3}{5})$. Önce $-0.5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$ şeklinde kesre çevir. Sonra $(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{3}{5}) = +\frac{3}{10}$
- ⚠️ Dikkat: Çarpma işleminde sadeleştirme varsa, işlemi kolaylaştırmak için çapraz sadeleştirme yapmayı unutma! Bu, büyük sayılarla uğraşmanı engeller.
2. Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi ➗
- İşaret Kuralları: Çarpma işlemindeki işaret kuralları bölme işlemi için de geçerlidir. Aynı işaretli iki sayının bölümü pozitiftir. (Örnek: $(+6) : (+3) = +2$, $(-6) : (-3) = +2$). Farklı işaretli iki sayının bölümü negatiftir. (Örnek: $(+6) : (-3) = -2$, $(-6) : (+3) = -2$)
- Kesirlerle Bölme: Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpılır. Örnek: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
- Tam Sayılı Kesirlerle Bölme: Tam sayılı kesirler önce bileşik kesre çevrilir, sonra bölme işlemi yapılır. Örnek: $2\frac{3}{5} : 1\frac{2}{3} = \frac{13}{5} : \frac{5}{3} = \frac{13}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{39}{25}$
- Bir Tam Sayıyı Rasyonel Sayıya Bölme: Tam sayının paydasına 1 yazarak kesir haline getirilir. Örnek: $5 : \frac{2}{3} = \frac{5}{1} : \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$
- 💡 İpucu: Bölme işlemi, çarpma işleminin tersidir. Bu yüzden ikinci sayıyı ters çevirip çarparız. Bu kuralı unutma!
3. Rasyonel Sayılarla Dört İşlem ve İşlem Önceliği ➕➖✖️➗
- İşlem Önceliği Sırası: 1. Parantez içindeki işlemler, 2. Üslü sayılar (7. sınıf konularında genellikle daha az karşımıza çıkar), 3. Çarpma ve Bölme işlemleri (soldan sağa doğru), 4. Toplama ve Çıkarma işlemleri (soldan sağa doğru).
- Toplama ve Çıkarma: Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma yapabilmek için paydalar mutlaka eşitlenmelidir. Örnek: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. Örnek: $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{10}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
- ⚠️ Dikkat: İşlem önceliği basamaklarına mutlaka uy! Özellikle parantez içindeki toplama/çıkarma işlemleri önce yapılır, sonra çarpma/bölme. Bir işlemde birden fazla çarpma/bölme veya toplama/çıkarma varsa soldan sağa doğru ilerle.
- 💡 İpucu: Negatif iki sayının yan yana gelmesi (örneğin $-(-)$) artıya dönüşür. Bu durum çıkarma işlemini toplamaya çevirir. (Örnek: $5 - (-2) = 5 + 2 = 7$)
4. Rasyonel Sayıların Özellikleri ve Karşılaştırma ⚖️
- Toplama İşlemine Göre Tersi: Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretini değiştirmektir. Sayı ile tersinin toplamı her zaman 0'dır. Örnek: $\frac{5}{6}$ sayısının toplama işlemine göre tersi $-\frac{5}{6}$'dır.
- Çarpma İşlemine Göre Tersi (Çarpmaya Göre Tersi): Bir sayının çarpmaya göre tersi, o sayıyı ters çevirmektir (pay ile paydayı yer değiştirmek). Sayı ile tersinin çarpımı her zaman 1'dir. Örnek: $-\frac{3}{8}$ sayısının çarpmaya göre tersi $-\frac{8}{3}$'tür. (İşaret değişmez!)
- Rasyonel Sayıları Karşılaştırma:
- Pozitif sayılar negatif sayılardan her zaman büyüktür.
- Paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür.
- Paylar eşitse paydası küçük olan daha büyüktür (pozitif sayılar için).
- Negatif sayılarda durum tersine döner: Sayı 0'a ne kadar yakınsa o kadar büyüktür. (Örnek: $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{2}$)
- Rasyonel Sayıları Karşılaştırma: Pozitif sayılar negatif sayılardan her zaman büyüktür. Paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür. Paylar eşitse paydası küçük olan daha büyüktür (pozitif sayılar için). Negatif sayılarda durum tersine döner: Sayı 0'a ne kadar yakınsa o kadar büyüktür. (Örnek: $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{2}$)
- 💡 İpucu: Sayıları karşılaştırırken paydaları eşitlemek veya ondalık sayıya çevirmek genellikle en kolay yoldur.
5. Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayılar 📏
- Sayı doğrusunda rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki eşit parçalara ayrılarak gösterilir. Örnek: 0 ile 1 arası 3 eşit parçaya bölünmüşse, her parça $\frac{1}{3}$'ü temsil eder. Örnek: Sayı doğrusunda -1 ile -2 arasında, -1'e daha yakın bir nokta $-\frac{5}{4}$ veya $-1\frac{1}{4}$ olabilir.
- ⚠️ Dikkat: Negatif sayılarda 0'dan uzaklaştıkça sayı küçülür. Örneğin, -1, -2'den daha büyüktür.
6. Günlük Hayat Problemleri ve Uygulamalar 🌍
- Kesirlerle ifade edilen uzunluk, miktar, oran gibi değerleri çarpma ve bölme işlemleriyle hesaplayabiliriz. Örnek: Bir bütünün belli bir kesrini bulmak için çarpma, bir bütünü belli kesirlerde parçalara ayırmak için bölme kullanılır. Örnek: Bir ipin uzunluğunun $\frac{1}{3}$'ü 5 metre ise, ipin tamamının uzunluğunu bulmak için $5 : \frac{1}{3}$ işlemi yapılır.
- 💡 İpucu: Problemleri çözerken önce ne istendiğini anla, sonra verilen bilgileri matematiksel ifadelere dönüştür. Görselleştirme veya küçük sayılarla deneme yapmak da yardımcı olabilir.