Merhaba Sevgili 7. Sınıf Öğrencileri! 👋

Bugünkü ders notumuzda, matematik dünyasının temel taşlarından biri olan rasyonel sayıları sıralama ve karşılaştırma konusunu ele alacağız. Bu konu, günlük hayatta da karşımıza çıkan birçok durumu anlamamıza yardımcı olur. Örneğin, bir pastayı kimin daha büyük dilim aldığını veya hangi indirim fırsatının daha avantajlı olduğunu hesaplarken aslında rasyonel sayıları karşılaştırırız. Hazırsanız, bu heyecanlı konuya birlikte dalalım! 🚀

Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

Öncelikle rasyonel sayının ne olduğunu hatırlayalım. Rasyonel sayılar, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada 'a' bir tam sayı, 'b' ise sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Yani kesirler, tam sayılar (paydası 1 olan kesirler gibi düşünebiliriz) ve ondalık sayılar (kesre çevrilebilenler) rasyonel sayılardır.

• Örnekler: \( \frac{1}{2} \), \( -\frac{3}{4} \), \( 5 \) (yani \( \frac{5}{1} \)), \( -2 \) (yani \( -\frac{2}{1} \)), \( 0.75 \) (yani \( \frac{3}{4} \))

Rasyonel Sayıları Sıralama ve Karşılaştırma ↔️

Rasyonel sayıları karşılaştırmak, hangi sayının daha büyük veya daha küçük olduğunu belirlemek demektir. Bunu yaparken farklı stratejiler kullanabiliriz.

1. Pozitif Rasyonel Sayıları Sıralama ➕

Pozitif rasyonel sayıları sıralamak, bildiğimiz kesirleri sıralamaya benzer. Temel kural şudur:

• Paydaları Eşitse: Payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{2}{5} \). Paydalar eşit (5). \( 3 > 2 \) olduğu için \( \frac{3}{5} > \frac{2}{5} \).

• Payları Eşitse: Paydası küçük olan kesir daha büyüktür. (Çünkü aynı miktarı daha az parçaya bölmüş olursunuz, her parça daha büyük olur.)

Örnek: \( \frac{4}{7} \) ve \( \frac{4}{9} \). Paylar eşit (4). \( 7 < 9 \) olduğu için \( \frac{4}{7} > \frac{4}{9} \).

• Pay ve Paydaları Farklıysa:
  • Ortak Payda Bulma: Kesirlerin paydalarını eşitlemek için genişletme yaparız. Ortak payda genellikle paydaların en küçük ortak katıdır (EKOK).

  Örnek: \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{2}{5} \). EKOK(3, 5) = 15.
  \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \)
  \( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \)
  Şimdi paydalar eşit: \( \frac{5}{15} < \frac{6}{15} \) olduğu için \( \frac{1}{3} < \frac{2}{5} \).

  • Ondalık Gösterime Çevirme: Kesirleri ondalık sayıya çevirerek de karşılaştırma yapabiliriz.

  Örnek: \( \frac{3}{4} \) ve \( \frac{2}{5} \).
  \( \frac{3}{4} = 0.75 \)
  \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
  \( 0.75 > 0.4 \) olduğu için \( \frac{3}{4} > \frac{2}{5} \).

2. Negatif Rasyonel Sayıları Sıralama ➖

İşte en çok dikkat etmemiz gereken kısım! Negatif rasyonel sayıları sıralarken, pozitif sayıların tam tersi bir durum söz konusudur. Sayı doğrusunu düşünün: Sıfıra daha yakın olan negatif sayı, daha büyüktür. 🥶

• Yöntem 1: Pozitif Gibi Düşün, Sonra Tersine Çevir

  Negatif rasyonel sayıları sıralarken, sanki hepsi pozitifmiş gibi düşünüp sıralama yapın. Daha sonra bulduğunuz eşitsizlik yönünü tersine çevirin. Bu, özellikle paydaları eşitlenmiş kesirlerde çok işe yarar.

  Örnek: \( -\frac{1}{2} \) ve \( -\frac{3}{4} \).
  Önce ortak payda bulalım: EKOK(2, 4) = 4.
  \( -\frac{1}{2} = -\frac{2}{4} \)
  \( -\frac{3}{4} \)
  Şimdi pozitif gibi düşünelim: \( \frac{2}{4} \) ve \( \frac{3}{4} \).
  \( \frac{2}{4} < \frac{3}{4} \)
  Şimdi negatif oldukları için eşitsizliği tersine çevirelim: \( -\frac{2}{4} > -\frac{3}{4} \). Yani \( -\frac{1}{2} > -\frac{3}{4} \).

  Günlük hayattan örnek: -2 TL borç, -5 TL borçtan daha iyidir, çünkü -2 TL borç sıfıra (hiç borcun olmamasına) daha yakındır. Yani -2 > -5. 💸

• Yöntem 2: Ondalık Gösterime Çevirme

  Negatif kesirleri ondalık sayıya çevirerek de karşılaştırma yapabiliriz. Bu yöntem, sayı doğrusundaki yerlerini daha net görmemizi sağlar.

  Örnek: \( -\frac{5}{6} \), \( -\frac{2}{3} \), \( -\frac{3}{4} \)
  Ondalık gösterimlere çevirelim:
  \( -\frac{5}{6} \approx -0.833... \)
  \( -\frac{2}{3} \approx -0.666... \)
  \( -\frac{3}{4} = -0.75 \)
  Şimdi bu ondalık sayıları sayı doğrusunda hayal edelim. Sıfıra en yakın olan en büyüktür.
  -0.666... (yani \( -\frac{2}{3} \)) sıfıra en yakın.
  -0.75 (yani \( -\frac{3}{4} \)) ortada.
  -0.833... (yani \( -\frac{5}{6} \)) sıfırdan en uzak.
  Dolayısıyla küçükten büyüğe sıralama: \( -\frac{5}{6} < -\frac{3}{4} < -\frac{2}{3} \).

3. Sıfır ile Karşılaştırma 0️⃣

• Tüm pozitif rasyonel sayılar sıfırdan büyüktür. \( \frac{1}{2} > 0 \)
• Tüm negatif rasyonel sayılar sıfırdan küçüktür. \( -\frac{3}{4} < 0 \)

Önemli İpuçları ve Hatırlatmalar! 💡

• Ortak Payda Her Zaman İşe Yarar: Rasyonel sayıları karşılaştırmanın en güvenilir yollarından biri, paydalarını eşitlemektir. Özellikle üç veya daha fazla sayıyı sıralarken bu yöntem çok etkilidir.
• Sayı Doğrusunu Düşün: Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe küçülür. Negatif sayılarda bu kuralı unutmayın: sıfıra yakın olan negatif sayı daha büyüktür! ➡️
• İşaretlere Dikkat: Sayıların pozitif mi yoksa negatif mi olduğuna her zaman dikkat edin. Bu, sıralama yönünü tamamen değiştirebilir.
• Bileşik Kesirleri Tam Sayılı Kesre Çevirme: Eğer bileşik kesirler varsa, bunları tam sayılı kesre çevirmek (örneğin \( \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \)) karşılaştırmayı kolaylaştırabilir, özellikle tam kısımları farklıysa.

Unutmayın, pratik yapmak bu konuda ustalaşmanın anahtarıdır. Bol bol soru çözerek rasyonel sayıları sıralama ve karşılaştırma becerilerinizi geliştirebilirsiniz. Başarılar dilerim! ✨