Merhaba sevgili 7. sınıf öğrencileri!

Bu ders notu, "Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi" konusundaki bilgilerinizi pekiştirmek ve sınavlarda karşılaşabileceğiniz soru tiplerine hazırlanmak için özel olarak hazırlandı. Bu notta, rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirme, devirli ondalık gösterimleri anlama, bu gösterimleri rasyonel sayıya dönüştürme ve sayı doğrusunda gösterme gibi temel konuları bulacaksınız. Haydi başlayalım!

Rasyonel Sayı Nedir?

• Rasyonel Sayı: a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, ^a/_b şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Örneğin, ³/₄, ^-5/₂, 7 (⁷/₁) birer rasyonel sayıdır.

Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Çevirme

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirmenin iki temel yolu vardır:

1. Paydayı 10, 100, 1000... Yaparak (Sonlu Ondalık Gösterimler)

• Eğer bir rasyonel sayının paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri şeklinde yazılabilirse, bu sayıyı genişleterek veya sadeleştirerek ondalık gösterime çevirebiliriz.
• Örnek: ³/₄ sayısını ondalık yapmak için paydayı 100 yaparız (4 x 25 = 100). Hem payı hem paydayı 25 ile çarparız: ^{3 x 25}/_{4 x 25} = ⁷⁵/₁₀₀ = 0,75.
• ⚠️ Dikkat: Bir rasyonel sayının ondalık gösterimi sonlu ise (yani virgülden sonra belirli bir sayıda basamak varsa), bu sayının paydasının asal çarpanları sadece 2 ve/veya 5 olmalıdır.

2. Payı Paydaya Bölerek (Hem Sonlu Hem Devirli Ondalık Gösterimler)

• Her rasyonel sayı, payı paydaya bölerek ondalık gösterime çevrilebilir. Bölme işlemi sonucunda kalan sıfır olursa sonlu ondalık gösterim elde edilir. Kalan hiçbir zaman sıfır olmaz ve belirli bir düzende tekrar etmeye başlarsa, devirli ondalık gösterim elde edilir.
• Örnek (Sonlu): ¹/₂ = 1 ÷ 2 = 0,5
• Örnek (Devirli): ¹/₃ = 1 ÷ 3 = 0,333... Bu, 0,3 şeklinde gösterilir.

Devirli Ondalık Gösterimler

• Bir ondalık gösterimde virgülden sonraki rakamlar belirli bir düzende tekrar ediyorsa, bu gösterime devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden rakamların üzerine bir çizgi çekilerek gösterilir.
• Örnek: 0,666... = 0,6; 1,232323... = 1,23; 5,1474747... = 5,147
• ⚠️ Dikkat: Bir rasyonel sayının ondalık gösterimi devirli ise, bu sayının paydasının asal çarpanları arasında 2 ve 5 dışında başka asal çarpanlar (3, 7, 11 vb.) bulunmalıdır.

Devirli Ondalık Gösterimde Belirli Bir Basamaktaki Rakamı Bulma

• Virgülden sonraki basamaklarda tekrar eden bir örüntü (periyot) vardır. Hangi basamaktaki rakamın istendiğini bulmak için, devreden kısmın uzunluğunu ve istenen basamak sayısını kullanırız.
• İpucu: Virgülden sonra devretmeyen kısım varsa, önce o basamakları sayarız. Kalan basamak sayısını devreden kısmın uzunluğuna böleriz. Kalan, devreden kısmın kaçıncı rakamı olduğunu gösterir. Eğer kalan 0 ise, devreden kısmın son rakamıdır.

Devirli Ondalık Gösterimi Rasyonel Sayıya Çevirme Kuralı

Bu kuralı iyi öğrenmek, devirli sayılarla yapılan işlemlerde çok işinize yarayacaktır:

• Kural: ^{(Sayı Tamamı - Devretmeyen Kısım)}/_{(Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0)}
• Örnek 1: 0,6 = ^{(6 - 0)}/₉ = ⁶/₉ = ²/₃
• Örnek 2: 1,23 = ^{(123 - 1)}/₉₉ = ¹²²/₉₉
• Örnek 3: 5,147 = ^{(5147 - 51)}/₉₉₀ = ⁵⁰⁹⁶/₉₉₀

Özel Durum: Sonu 9 ile Devreden Sayılar

• Eğer bir ondalık gösterimin virgülden sonraki kısmı sadece 9 ile devrediyorsa, bu sayı bir üst tam sayıya veya ondalık basamağa yuvarlanır.
• Örnek: 0,9 = 1; 2,99 = 3; 4,59 = 4,6
• 💡 İpucu: Bu özel durumu bilmek, devirli sayılarla yapılan toplama, çıkarma gibi işlemlerde size büyük kolaylık sağlar ve işlem hatası yapmanızı engeller.

Ondalık Gösterimlerle İlgili Ek Konular

Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme

• Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterirken, önce sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirleriz. Ardından, bu aralığı paydadaki sayı kadar eş parçaya böleriz ve paydaki sayı kadar ilerleriz.
• Negatif rasyonel sayılar için sıfırın soluna doğru ilerlenir.
• Örnek: ^-7/₅ sayısı -1 ile -2 arasındadır. Bu aralık 5 eş parçaya bölünür ve -1'den sonra 2. noktaya karşılık gelir (çünkü -7/5 = -1 tam 2/5).

Ondalık Gösterimlerde Basamak Adları

• Ondalık gösterimlerde virgülün solundaki basamaklar tam kısım (birler, onlar, yüzler...), sağındaki basamaklar ise ondalık kısım olarak adlandırılır.
• Virgülden hemen sonraki ilk basamak onda birler basamağıdır.
• İkinci basamak yüzde birler basamağıdır.
• Üçüncü basamak binde birler basamağıdır.
• 💡 İpucu: Sorularda belirli bir basamaktaki rakamın istenmesi durumunda, basamak adlarını doğru bilmek önemlidir.

Genel İpuçları ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Sadeleştirme: Rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirmeden önce, mümkünse kesri en sade haline getirin. Bu, işlem yapmayı kolaylaştırır.
• Bölme İşlemi: Özellikle devirli ondalık gösterimleri bulurken, bölme işlemini dikkatli ve uzun bir şekilde yapmaktan çekinmeyin. Kalanların tekrar etmeye başladığı noktayı iyi takip edin.
• İşlem Sırası: Birden fazla işlem içeren sorularda (toplama, çıkarma, çarpma, bölme), işlem önceliğine dikkat edin. Genellikle devirli sayıları rasyonel sayıya çevirip işlem yapmak daha güvenlidir.
• Negatif Sayılar: Negatif rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirirken işaretine dikkat edin. Sayı doğrusunda yerleştirirken de sıfırın solunda olduğunu unutmayın.
• Pratik: Bu konuda bol bol soru çözmek, farklı devirli ondalık gösterim tiplerini tanımak ve kuralı ezberlemek yerine anlamak için en iyi yoldur.

Umarım bu ders notu, "Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi" konusundaki bilgilerinizi tazelemek ve sınavlara daha iyi hazırlanmak için size yardımcı olur. Başarılar dilerim!