🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar (Rasyonel Sayıları Belirleme ve Sayı Doğrusunda Gösterme) Test 3 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf "Rasyonel Sayılar" ünitesinin temel kavramlarını, özellikle rasyonel sayıların tanımını, tam sayılarla ilişkisini, farklı gösterimlerini ve sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini kapsar. Testteki sorular, bu konuları pekiştirmeye yönelik olup, rasyonel sayıların dünyasına sağlam bir giriş yapmanızı sağlayacaktır. 🚀

1. Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

• Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için, a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilmesi gerekir.
• Yani, bir kesir olarak ifade edilebilen tüm sayılar rasyonel sayıdır.
• Örnek: $\frac{3}{5}$, $-\frac{7}{2}$, $0.25$ (yani $\frac{1}{4}$), $3$ (yani $\frac{3}{1}$) birer rasyonel sayıdır.
• ⚠️ Dikkat: Payda (b) asla sıfır olamaz! $\frac{a}{0}$ şeklindeki ifadeler tanımsızdır ve rasyonel sayı değildir. Örneğin, $\frac{4}{0}$ bir rasyonel sayı değildir.

2. Rasyonel Sayıların Kümeleri ve İlişkileri 🤝

• Doğal Sayılar (N): $\{0, 1, 2, 3, ...\}$
• Tam Sayılar (Z): $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$
• Rasyonel Sayılar (Q): Hem doğal sayıları hem de tam sayıları kapsayan daha büyük bir kümedir. Her doğal sayı ve her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Çünkü her tam sayı, paydasına 1 yazılarak $\frac{a}{1}$ şeklinde ifade edilebilir.
• Örnek: $5$ bir doğal sayı, tam sayı ve rasyonel sayıdır ($\frac{5}{1}$). $-2$ bir tam sayı ve rasyonel sayıdır ($-\frac{2}{1}$). $0$ bir doğal sayı, tam sayı ve rasyonel sayıdır ($\frac{0}{1}$).
• 💡 İpucu: Bir kesrin sonucu tam sayı çıkıyorsa (örneğin $\frac{30}{-2} = -15$), o sayı hem tam sayı hem de rasyonel sayıdır.

3. Rasyonel Sayılarda İşaret ve Eşitlikler ↔️

• Negatif bir rasyonel sayının eksi işareti, kesir çizgisinin önünde, payın önünde veya paydanın önünde olabilir. Bu durumlar birbirine eşittir.
• Örnek: $-\frac{3}{5} = \frac{-3}{5} = \frac{3}{-5}$. Bu gösterimlerin hepsi aynı negatif rasyonel sayıyı ifade eder.
• ⚠️ Dikkat: Pay ve paydanın ikisi de negatifse, sonuç pozitif olur. Örneğin, $\frac{-12}{-4} = \frac{12}{4} = 3$.

4. Tam Sayılı Kesirleri Bileşik Kesre Çevirme 🔄

• Tam sayılı kesirleri sayı doğrusunda göstermek veya işlemler yapmak için genellikle bileşik kesre çeviririz.
• Pozitif Tam Sayılı Kesirler: Tam kısım ile payda çarpılır, pay eklenir ve sonuç paya yazılır. Payda aynı kalır.
• Örnek: $2\frac{1}{4} = \frac{(2 \times 4) + 1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$.
• Negatif Tam Sayılı Kesirler: İşaret yokmuş gibi bileşik kesre çevirilir, sonra önüne eksi işareti konulur.
• Örnek: $-2\frac{3}{5}$ sayısını çevirirken önce $2\frac{3}{5}$'i çeviririz: $\frac{(2 \times 5) + 3}{5} = \frac{13}{5}$. Sonra önüne eksi işaretini koyarız: $-\frac{13}{5}$.
• ⚠️ Dikkat: $-2\frac{3}{5}$, $-2$ ile $-3$ arasında bir sayıdır, $0$
  ile $-1$ arasında değil.

5. Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

• Adım 1: Tam Sayı Aralığını Belirle: Rasyonel sayının hangi ardışık iki tam sayı arasında olduğunu bul. Bunun için bileşik kesri tam sayılı kesre çevirebilir veya payı paydaya bölebilirsin.
• Örnek: $\frac{7}{3}$ sayısı $2\frac{1}{3}$'e eşittir, yani $2$ ile $3$ arasındadır. $-\frac{9}{4}$ sayısı $-2\frac{1}{4}$'e eşittir, yani $-2$
  ile $-3$ arasındadır.
• Adım 2: Aralığı Eş Parçalara Ayır: Belirlediğin tam sayı aralığını, kesrin paydası kadar eş parçaya böl.
• Adım 3: Noktayı İşaretle: Tam sayıdan başlayarak (pozitifse sağa, negatifse sola doğru) kesrin payı kadar ilerle ve noktayı işaretle.
• Örnek: $2\frac{3}{4}$ sayısını göstermek için $2$
  ile $3$
  arasını 4 eş parçaya ayırırız ve $2$
  'den sonra 3. çizgiyi işaretleriz.
• 💡 İpucu: Negatif sayılarda yön çok önemli! $-2\frac{1}{3}$ sayısını gösterirken $-2$
  ile $-3$
  arasını 3 eş parçaya ayırırız ve $-2$
  'den sola doğru 1. çizgiyi işaretleriz.
• Sayı Doğrusunda Nokta Bulma: İki tam sayı arası kaç eş parçaya ayrılmışsa, bu payda değerini verir. İşaretli nokta kaçıncı çizgiyse, bu da pay değerini verir. Başlangıç tam sayısını da tam kısım olarak yazarız.

6. İki Rasyonel Sayı Arasındaki Tam Sayılar 🔢

• İki rasyonel sayı arasında kaç tane tam sayı olduğunu bulmak için, bu rasyonel sayıları yaklaşık olarak ondalık sayıya veya tam sayılı kesre çevirmek en kolay yoldur.
• Örnek: $-\frac{7}{3}$ ile $\frac{5}{2}$ arasındaki tam sayıları bulalım.
  • $-\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$ (yaklaşık $-2.33$)
  • $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ (yaklaşık $2.5$)
• Bu iki değer arasındaki tam sayılar: $-2, -1, 0, 1, 2$. Toplam 5 tane tam sayı vardır.
• 💡 İpucu: Sayı doğrusu üzerinde bu noktaları hayal etmek veya çizmek, tam sayıları doğru belirlemene yardımcı olur.

Bu ders notu, rasyonel sayılarla ilgili temel bilgileri ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini anlamanıza yardımcı olacaktır. Bol bol pratik yaparak konuyu pekiştirmeyi unutmayın! Başarılar dilerim! ✨