🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla İşlemler Ünite Değerlendirme Test 14 - Ders Notu ve İpuçları
Bu ders notu, 7. sınıf "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesindeki temel kavramları, işlem kurallarını ve problem çözme yaklaşımlarını kapsar. Tam sayıların ne olduğunu anlamaktan, onlarla dört işlem yapmaya, üslü ifadeleri ve mutlak değeri kullanmaya kadar birçok önemli konuyu tekrar etmenizi sağlayacaktır. Sınav öncesi son tekrarınız için harika bir kaynak! ✨
1. Tam Sayılar ve Özellikleri 🔢
- Tam Sayılar Kümesi (Z): Pozitif tam sayılar ($Z^+$), negatif tam sayılar ($Z^-$) ve sıfırdan (0) oluşur. $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
- Doğal Sayılar (N): Sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur. $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir. Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır.
- Sayı Doğrusu: Tam sayılar sayı doğrusunda gösterilir. Sıfır başlangıç noktasıdır. Sağdaki sayılar soldaki sayılardan her zaman daha büyüktür. Örneğin, $-2 > -5$ veya $3 > 0$.
- En Büyük / En Küçük Tam Sayılar:
- İki basamaklı en büyük tam sayı: $99$.
- İki basamaklı en küçük tam sayı: $-99$.
- ⚠️ Dikkat: Negatif sayılarda, sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür. Örneğin, $-1$ en büyük negatif tam sayıdır.
2. Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri ➕➖
- Aynı İşaretli Sayılar: Sayılar toplanır, ortak işaret sonuca yazılır.
- Örnek: $(+3) + (+5) = +8$
- Örnek: $(-3) + (-5) = -8$
- Farklı İşaretli Sayılar: Büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır, büyüğün işareti sonuca yazılır.
- Örnek: $(+7) + (-4) = +3$
- Örnek: $(-7) + (+4) = -3$
- Çıkarma İşlemi: Bir tam sayıdan başka bir tam sayı çıkarılırken, çıkan sayının işareti değiştirilip toplama işlemi yapılır. Yani, $a - b = a + (-b)$.
- Örnek: $(-3) - (+5) = (-3) + (-5) = -8$
- Örnek: $(+10) - (-3) = (+10) + (+3) = +13$
- Sayı Doğrusunda Modelleme:
- Pozitif sayılar sağa doğru, negatif sayılar sola doğru hareket anlamına gelir.
- Çıkarma işleminde, çıkarılan sayının tersi yönde hareket edilir.
- 💡 İpucu: "Can 9'dan sola doğru 7 adım atarsa" gibi sorularda, her adımın uzunluğunu çarpıp, başlangıç noktasından sola doğru (çıkarma) ilerlemeyi unutmayın.
- Sayma Pulları ile Modelleme:
- $(+)$ pullar pozitif, $(-)$ pullar negatif tam sayıları temsil eder.
- Bir $(+)$ pul ile bir $(-)$ pul birleşince "sıfır çifti" oluşturur ve değerleri $0$'dır.
- Çıkarma işleminde, yeterli pul yoksa, sıfır çiftleri eklenerek işlem yapılır. Örneğin, $(-3) - (+5)$ işleminde, $-3$ puldan $5$ tane pozitif pul çıkarılamayacağı için, $5$ tane sıfır çifti (yani $5$ tane $(+)$ ve $5$ tane $(-)$ pul) eklenir. Sonra $5$ tane $(+)$ pul çıkarılır, geriye kalanlar sonuç olur.
3. Tam Sayılarla Çarpma İşlemleri ✖️
- Aynı İşaretli Sayıların Çarpımı: Sonuç her zaman pozitiftir. $(+) \times (+) = (+)$, $(-) \times (-) = (+)$.
- Örnek: $(+4) \times (+2) = +8$
- Örnek: $(-4) \times (-2) = +8$
- Farklı İşaretli Sayıların Çarpımı: Sonuç her zaman negatiftir. $(+) \times (-) = (-)$, $(-) \times (+) = (-)$.
- Örnek: $(+4) \times (-2) = -8$
- Örnek: $(-4) \times (+2) = -8$
- Çarpma İşleminin Özellikleri:
- Yutan Eleman: $0$. Bir sayıyı $0$ ile çarparsan sonuç $0$ olur. Örnek: $5 \times 0 = 0$.
- Etkisiz Eleman: $1$. Bir sayıyı $1$ ile çarparsan sonuç değişmez. Örnek: $5 \times 1 = 5$.
- Ters İşaretli İki Sayının Çarpımı: Her zaman negatiftir. Örnek: $(+5) \times (-3) = -15$.
- En Büyük / En Küçük Değer Bulma:
- İki sayının çarpımı sabitse, toplamlarının en büyük olması için sayılar birbirine uzak, en küçük olması için birbirine yakın seçilir. (Pozitif sayılar için)
- ⚠️ Dikkat: Negatif tam sayılarla çalışırken durum değişir. Örneğin, çarpımları $12$ olan negatif iki tam sayının toplamının en büyük olması için, sayıların sıfıra en yakın (yani mutlak değerce en küçük) olanları seçilir. $(-3) \times (-4) = 12$ ve $(-3) + (-4) = -7$. Bu, $(-1) \times (-12) = 12$ ve $(-1) + (-12) = -13$'ten daha büyüktür.
4. Tam Sayılarla Bölme İşlemleri ➗
- İşaret Kuralları: Çarpma işlemindeki işaret kurallarıyla aynıdır.
- Aynı işaretli sayıların bölümü pozitiftir: $(+) \div (+) = (+)$, $(-) \div (-) = (+)$.
- Farklı işaretli sayıların bölümü negatiftir: $(+) \div (-) = (-)$, $(-) \div (+) = (-)$.
- Örnek: $(-24) \div (-3) = +8$, $(+12) \div (-3) = -4$.
- Sayı Pulları ile Modelleme:
- Bölünen sayı kadar pul başlangıçta bulunur.
- Bölen sayı kadar eşit gruplara ayrılır. Her gruptaki pul sayısı ve işareti bölümü verir.
- Örnek: $(-25) \div 5$ işleminde, $25$ tane negatif pul $5$ eşit gruba ayrılır. Her grupta $5$ tane negatif pul olur, yani sonuç $-5$'tir.
- Bölme İşleminin Özellikleri:
- Bir sayının $-1$ ile bölümü, o sayının ters işaretlisine eşittir. Örnek: $(+7) \div (-1) = -7$.
- Sıfırın bir sayıya bölümü (sayı sıfırdan farklı olmak üzere) her zaman $0$'dır. Örnek: $0 \div 5 = 0$.
- Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
5. Tam Sayılarla Üslü İfadeler 🚀
- Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir. Örnek: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
- Negatif Tabanın Kuvvetleri:
- Tek Kuvvetleri: Sonuç negatiftir. Örnek: $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$.
- Çift Kuvvetleri: Sonuç pozitiftir. Örnek: $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16$.
- ⚠️ Dikkat: Parantez yoksa işaret etkilenmez. Örneğin, $-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$.
- Sıfırın Kuvvetleri:
- Sıfır hariç her sayının $0$. kuvveti $1$'dir. Örnek: $5^0 = 1$, $(-3)^0 = 1$.
- $0^0$ tanımsızdır.
- Bir Sayının 1. Kuvveti: Kendisine eşittir. Örnek: $7^1 = 7$.
6. Mutlak Değer |x| 📏
- Bir tam sayının sıfıra olan uzaklığına mutlak değeri denir. $|a|$ ile gösterilir.
- Mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır. Asla negatif olamaz.
- Örnek: $|+5| = 5$, $|-3| = 3$, $|0| = 0$.
- Mutlak Değerli Denklemler:
- $|x| = a$ ise, $x = a$ veya $x = -a$ olabilir.
- Örnek: $|10 - \star| = 6$ ise, $10 - \star = 6$ veya $10 - \star = -6$.
- Bu denklemleri çözerek $\star$ değerlerini bulup toplayabilirsin.
7. İşlem Önceliği 🎯
Birden fazla işlem içeren durumlarda aşağıdaki sıra takip edilir:
- Parantez İçi İşlemler 괄호
- Üslü İfadeler $a^b$
- Çarpma ve Bölme İşlemleri (Soldan sağa doğru) $\times, \div$
- Toplama ve Çıkarma İşlemleri (Soldan sağa doğru) $+, -$
- 💡 İpucu: Bu sırayı "Pa-Ü-Ça-Böl-Top-Çıkar" diye aklında tutabilirsin.
- Örnek: $0 \div 5 \times (-16) - 20^1 + 10$
- $0 \div 5 = 0$
- $20^1 = 20$
- $0 \times (-16) = 0$
- İşlem: $0 - 20 + 10 = -20 + 10 = -10$
- (Not: Bu örnekteki işlem sırası, verilen test sorusundaki işlem sırasına göre düzenlenmiştir. Testteki $0/5 \cdot (-16)$ ifadesi $0 \cdot (-16)$ olarak algılanabilir, bu da $0$ sonucunu verir. Sonuç: $0 - 20 + 10 = -10$)
- (Testteki sorunun cevabı C (-19) ise, $0/5$ ifadesi $0$ olarak alınmış, $-20^1$ ifadesi $-(20^1) = -20$ olarak alınmış, $1^0$ ifadesi $1$ olarak alınmış. Yani $0 \cdot (-16) - 20 + 1 = 0 - 20 + 1 = -19$. Bu durumda $10$ değil $1^0$ olmalı.)
- ⚠️ Dikkat: İşlem önceliği sorularında üslü ifadelerin tabanı negatifse paranteze dikkat et. $20^1$ ile $(-20)^1$ farklıdır. $10$ ile $1^0$ farklıdır.
8. Problem Çözme ve Günlük Hayat Uygulamaları 🌍
- Sıcaklık Farkları: İki sıcaklık arasındaki farkı bulmak için büyük sıcaklıktan küçük sıcaklık çıkarılır. Örneğin, $14^\circ C$ ile $-20^\circ C$ arasındaki fark $14 - (-20) = 14 + 20 = 34^\circ C$ olur.
- Kar / Zarar Hesapları: Gelirler pozitif, giderler negatif olarak düşünülerek toplam kar veya zarar hesaplanır. Kar = Gelir - Gider.
- Puanlama Sistemleri: Doğru cevaplar pozitif, yanlış cevaplar negatif puan olarak değerlendirilerek toplam puan hesaplanır. Boş bırakılan soruların puanı genellikle $0$'dır.
- Değişkenlerle Çalışma: Bilinmeyen değerleri (x, y, ▲, ● gibi) bulmak için verilen denklemleri veya ilişkileri kullanarak tam sayılarla dört işlem yapılır.
- Eşitsizlikler: "a < 5" gibi ifadeler, a'nın $5$'ten küçük tam sayılar olabileceğini gösterir ($4, 3, 2, ...$). "b > -2" ise b'nin $-2$'den büyük tam sayılar olabileceğini gösterir ($-1, 0, 1, ...$). Bu aralıklardan, istenen sonuca (en küçük, en büyük gibi) ulaşmak için uygun değerler seçilir.
Bu ders notları, tam sayılarla ilgili tüm ana konuları özetlemektedir. Bol bol pratik yaparak ve örnek sorular çözerek bilgilerinizi pekiştirmeyi unutmayın! Başarılar dilerim! 🌟