7. Sınıf Tam Sayılarla İşlemler Ünite Değerlendirme Testi İçin Ders Notları 🧠

Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 7. sınıf matematik dersinin önemli konularından biri olan "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesini birlikte tekrar edelim. Bu notlar, ünite değerlendirme testinize hazırlanırken size rehberlik edecek. Hazırsanız başlayalım! 🚀

Tam Sayılar Nedir? 🤔

Tam sayılar, doğal sayıları (0, 1, 2, 3, ...) ve bu sayıların negatiflerini (-1, -2, -3, ...) içeren sayılar kümesidir. "Z" harfi ile gösterilirler.

• Pozitif Tam Sayılar (\(Z^+\)): Sayı doğrusunda sıfırın sağında yer alan sayılardır. \(+1, +2, +3, \dots\)
• Negatif Tam Sayılar (\(Z^-\)): Sayı doğrusunda sıfırın solunda yer alan sayılardır. \(-1, -2, -3, \dots\)
• Sıfır (0): Ne pozitif ne de negatiftir. Tam sayıların merkezidir.

Sayı Doğrusu: Tam sayıları görselleştirmek için harika bir araçtır. Sıfır ortada, pozitif sayılar sağda, negatif sayılar soldadır. Sağdaki sayılar soldakilerden her zaman daha büyüktür. Örneğin, \(3 > -5\), \(-1 > -4\).

Mutlak Değer 📏

Bir tam sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık asla negatif olamayacağı için mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır.

• Mutlak değer sembolü \(| \ | \) ile gösterilir.
• Örneğin: \(|5| = 5\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\).
• Günlük hayattan örnek: Bir asansörün zemin kattan 3 kat yukarı çıkması da (+3), 3 kat aşağı inmesi de (-3) zemin kata olan uzaklığı açısından 3 katlık bir mesafedir.

Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕

Tam sayılarla toplama yaparken işaretlere dikkat etmek çok önemlidir!

• Aynı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayılar toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.
• Örnek: \((+3) + (+5) = +8\) (3 lira kazandın, sonra 5 lira daha kazandın, toplam 8 lira kazancın oldu. 💰)
• Örnek: \((-3) + (-5) = -8\) (3 lira borcun vardı, 5 lira daha borç yaptın, toplam 8 lira borcun oldu. 💸)
• Farklı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Büyük sayının mutlak değerinden küçük sayının mutlak değeri çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.
• Örnek: \((+7) + (-4) = +3\) (7 liran vardı, 4 lirasını harcadın, 3 liran kaldı. 😊)
• Örnek: \((-10) + (+6) = -4\) (10 lira borcun vardı, 6 lira ödedin, hala 4 lira borcun var. 😔)

Toplama İşleminin Özellikleri:

• Değişme Özelliği: Sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez. \(a+b = b+a\)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla sayı toplanırken, hangi ikisinin önce toplandığı sonucu değiştirmez. \((a+b)+c = a+(b+c)\)
• Etkisiz (Birim) Eleman: 0 sayısı toplama işleminde etkisiz elemandır. \(a+0 = a\)
• Ters Eleman: Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaret değiştirmiş halidir. Toplamları 0'dır. Örneğin, \(+5\) in tersi \(-5\)'tir. \((+5) + (-5) = 0\)

Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

Tam sayılarla çıkarma işlemi aslında bir toplama işlemine dönüştürülerek yapılır. Çıkan sayının işaretini değiştirip, işlemi toplamaya çeviririz.

• Kural: \(a - b = a + (-b)\)
• Örnek: \((+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5\)
• Örnek: \((+5) - (-2) = (+5) + (+2) = +7\) (5 liran vardı, 2 lira borcun silindi, 7 liran oldu gibi düşünebilirsin. 🎉)
• Örnek: \((-10) - (+4) = (-10) + (-4) = -14\)
• Örnek: \((-6) - (-9) = (-6) + (+9) = +3\)

Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️

Çarpma işleminde işaret kuralları çok önemlidir!

• Aynı İşaretli İki Sayının Çarpımı: Sonuç pozitiftir. \((+) \times (+) = (+)\) ve \((-) \times (-) = (+)\)
• Örnek: \((+4) \times (+3) = +12\)
• Örnek: \((-5) \times (-2) = +10\)
• Farklı İşaretli İki Sayının Çarpımı: Sonuç negatiftir. \((+) \times (-) = (-)\) ve \((-) \times (+) = (-)\)
• Örnek: \((+6) \times (-3) = -18\)
• Örnek: \((-7) \times (+2) = -14\)

Çarpma İşleminin Özellikleri:

• Değişme Özelliği: \(a \times b = b \times a\)
• Birleşme Özelliği: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
• Etkisiz (Birim) Eleman: 1 sayısı çarpma işleminde etkisiz elemandır. \(a \times 1 = a\)
• Yutan Eleman: 0 sayısı çarpma işleminde yutan elemandır. \(a \times 0 = 0\)
• Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır. \(a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c)\)

Tam Sayılarla Bölme İşlemi ➗

Bölme işleminde de çarpma işlemindeki gibi işaret kuralları geçerlidir.

• Aynı İşaretli İki Sayının Bölümü: Sonuç pozitiftir. \((+) \div (+) = (+)\) ve \((-) \div (-) = (+)\)
• Örnek: \((+15) \div (+3) = +5\)
• Örnek: \((-20) \div (-4) = +5\)
• Farklı İşaretli İki Sayının Bölümü: Sonuç negatiftir. \((+) \div (-) = (-)\) ve \((-) \div (+) = (-)\)
• Örnek: \((+18) \div (-6) = -3\)
• Örnek: \((-24) \div (+8) = -3\)

Unutma: Bir sayının 0'a bölümü tanımsızdır. 0'ın bir sayıya bölümü ise 0'dır (0 hariç). 🚫

Tam Sayılarla İşlem Önceliği 🚦

Birden fazla işlem içeren durumlarda, işlemlerin belirli bir sıraya göre yapılması gerekir. Bu sıraya işlem önceliği denir. Adım adım ilerlemek, hata yapma riskini azaltır!

1. Parantez içindeki işlemler yapılır. 괄호
2. Üslü ifadeler hesaplanır. üstlü
3. Çarpma veya Bölme işlemleri yapılır (soldan sağa doğru).
4. Toplama veya Çıkarma işlemleri yapılır (soldan sağa doğru).

Örnek: \((10 - 2 \times 3) + 5^2 \div (-5)\)

• Önce parantez içi: \(2 \times 3 = 6\), sonra \(10 - 6 = 4\). İfade: \(4 + 5^2 \div (-5)\)
• Sonra üslü ifade: \(5^2 = 25\). İfade: \(4 + 25 \div (-5)\)
• Sonra bölme: \(25 \div (-5) = -5\). İfade: \(4 + (-5)\)
• Son olarak toplama: \(4 + (-5) = -1\) ✅

Üslü Sayılar ve Tam Sayılarla Karşılaştırma 📈

7. sınıfta tam sayıların kuvvetlerini öğreniriz. Bir sayının kuvveti, o sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığını gösterir.

• Örneğin: \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)
• Negatif tam sayıların kuvvetleri:
• Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir. Örnek: \((-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16\)
• Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)
• Dikkat: \(-2^4\) ile \((-2)^4\) farklıdır! \(-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16\). Parantez, işaretin de kuvvetini aldığımızı gösterir.

Üslü Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama:

Büyük üslü sayıları karşılaştırırken genellikle iki yöntemden birini kullanırız:

• Tabanları Eşitleme: Eğer tabanlar aynı hale getirilebiliyorsa, üssü büyük olan sayı daha büyüktür.
• Örnek: \(2^5\) ile \(4^2\) yi karşılaştıralım. \(4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4\). Şimdi \(2^5\) ve \(2^4\) var. Tabanlar aynı (2), üssü büyük olan \(2^5\) daha büyüktür. Dolayısıyla \(2^5 > 4^2\).
• Üsleri Eşitleme: Eğer üsler aynı hale getirilebiliyorsa, tabanı büyük olan sayı daha büyüktür. Bu yöntem, büyük üslü sayıları karşılaştırmada çok işe yarar!
• Örnek: \(4^{15}, 3^{20}, 5^{10}\) sayılarını büyükten küçüğe sıralayalım.
• Üsler 15, 20 ve 10. Bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 5'tir. Yani tüm üsleri 5'in katı şeklinde yazabiliriz.
• \(4^{15} = 4^{3 \times 5} = (4^3)^5 = 64^5\)
• \(3^{20} = 3^{4 \times 5} = (3^4)^5 = 81^5\)
• \(5^{10} = 5^{2 \times 5} = (5^2)^5 = 25^5\)
• Şimdi üsler aynı (hepsi 5). Tabanları karşılaştırabiliriz: \(81 > 64 > 25\).
• Dolayısıyla, \(81^5 > 64^5 > 25^5\) yani \(3^{20} > 4^{15} > 5^{10}\) şeklinde sıralanır.

Sonuç ve Tavsiyeler ✨

Sevgili öğrenciler, tam sayılarla işlemler konusu matematiğin temel taşlarından biridir. Bu konuyu ne kadar iyi anlarsanız, ilerideki cebir ve diğer konuları öğrenmeniz o kadar kolaylaşır. Özellikle işaret kurallarına ve işlem önceliğine çok dikkat edin. Üslü sayılarla karşılaştırma gibi daha ileri seviye uygulamalar da bu temeller üzerine kuruludur.

Bol bol soru çözerek pratik yapmayı unutmayın! Başarılar dilerim! 🌟