🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Sevgili 7. sınıf öğrencileri, tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri matematik dersinin temel konularından biridir. Bu ders notu, bu konudaki bilgilerinizi pekiştirmeniz ve olası zorlukların üstesinden gelmeniz için hazırlandı. Hazırsanız, tam sayıların gizemli dünyasına bir yolculuk yapalım!

1. Tam Sayılar ve Mutlak Değer Nedir? 🔢

• Tam Sayılar (\(\mathbb{Z}\)): Pozitif doğal sayılar (\(1, 2, 3, \ldots\)), negatif doğal sayılar (\(\ldots, -3, -2, -1\)) ve sıfır (\(0\))dan oluşan kümedir. Sayı doğrusunda sıfırın sağında pozitif, solunda negatif sayılar bulunur.
• Mutlak Değer: Bir tam sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığına denir. Mutlak değer asla negatif olamaz ve \(|a|\) şeklinde gösterilir.
• Örnek: \(|5| = 5\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\).
• Tam Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama: Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe küçülür.
• Pozitif sayılar her zaman negatif sayılardan ve sıfırdan büyüktür.
• Negatif sayılar sıfırdan küçüktür. Negatif sayılarda mutlak değeri küçük olan sayı daha büyüktür. (Örnek: \(-2 > -5\))

⚠️ Dikkat: Mutlak değer bir sayıyı her zaman pozitif yapar, ancak sayının kendisi negatif olabilir. Örneğin, \(|-10|\) değeri \(10\)dur, ancak \(10\) ile \(-3\)ü karşılaştırırken \(-3\) hala küçüktür.

2. Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕

• Aynı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.
• Örnek: \((+3) + (+5) = +8\), \((-3) + (-5) = -8\).
• Farklı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayıların mutlak değerleri arasındaki fark bulunur. Sonucun işareti, mutlak değeri büyük olan sayının işaretiyle aynı olur.
• Örnek: \((+7) + (-4) = +3\) (Çünkü \(7-4=3\) ve \(7\) daha büyük, işareti \(+\)), \((-9) + (+2) = -7\) (Çünkü \(9-2=7\) ve \(9\) daha büyük, işareti \(-\)).
• Sayma Pulları ile Toplama İşlemi Modelleme:
• \(+\) pulu \(+1\)i, \(-\) pulu \(-1\)i temsil eder.
• Bir \(+\) pulu ile bir \(-\) pulu bir araya geldiğinde bir "sıfır çifti" oluşturur ve değeri \(0\)dır.
• Toplama işleminde, ilk sayının pulları konulur, ardından ikinci sayının pulları eklenir. Oluşan sıfır çiftleri çıkarılır ve kalan pulların değeri sonuç olur.
• Örnek: \((-3) + (+4)\) işlemi için 3 tane \(-\) pulu ve 4 tane \(+\) pulu bir araya getirilir. 3 tane sıfır çifti oluşur (3 \(-\) ve 3 \(+\) pulu). Geriye 1 tane \(+\) pulu kalır. Sonuç \((+1)\)dir.

💡 İpucu: Günlük hayatta borç-alacak gibi düşünebilirsin. (+) alacak, (-) borç. Alacakların ve borçların toplamı ne kadar eder?

3. Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

• Kural: Tam sayılarla çıkarma işlemi yapılırken, çıkan sayının işareti değiştirilerek toplama işlemine dönüştürülür. Yani, \(a - b = a + (-b)\) kuralı uygulanır.
• Örnek: \((+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5\).
• Örnek: \((+5) - (-2) = (+5) + (+2) = +7\).
• Örnek: \((-10) - (+4) = (-10) + (-4) = -14\).
• Örnek: \((-8) - (-14) = (-8) + (+14) = +6\).
• Sayma Pulları ile Çıkarma İşlemi Modelleme:
• İlk sayının pulları kutuya konulur.
• İkinci sayıyı (çıkanı) temsil eden pullar kutudan çıkarılır. Eğer yeterli sayıda pul yoksa, kutuya sıfır çiftleri (bir \(+\) ve bir \(-\) pulu) eklenir. Sıfır çiftleri eklemek sayının değerini değiştirmez.
• Gerekli pullar çıkarıldıktan sonra kutuda kalan pulların değeri sonuçtur.
• Örnek: \((-4) - (+2)\) işlemi için 4 tane \(-\) pulu konulur. 2 tane \(+\) pulu çıkarılması gerekir, ancak kutuda \(+\) pulu yoktur. Bu durumda kutuya 2 tane sıfır çifti (2 \(+\) ve 2 \(-\) pulu) eklenir. Şimdi kutuda 6 tane \(-\) pulu ve 2 tane \(+\) pulu vardır. 2 tane \(+\) pulu çıkarılır. Geriye 6 tane \(-\) pulu kalır. Sonuç \((-6)\)dır.

⚠️ Dikkat: "Eksi eksi yan yana gelirse artı olur" kuralı aslında çıkarma işlemini toplama işlemine çevirme kuralından gelir: \((-a) - (-b) = (-a) + (+b)\).

4. Tam Sayılarla Toplama İşleminin Özellikleri ✨

• Değişme Özelliği: Toplanan tam sayıların yerleri değişse de toplam değişmez.
• Formül: \(a + b = b + a\)
• Örnek: \((+5) + (-3) = (-3) + (+5) = +2\)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla tam sayı toplanırken, hangi ikisinin önce toplandığı önemli değildir, sonuç değişmez.
• Formül: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
• Örnek: \(((-2) + (+7)) + (-4) = (+5) + (-4) = +1\) ve \((-2) + ((+7) + (-4)) = (-2) + (+3) = +1\)
• Etkisiz Eleman Özelliği: Bir tam sayının sıfır ile toplamı, sayının kendisini verir. Sıfır, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
• Formül: \(a + 0 = a\)
• Örnek: \((+9) + 0 = +9\), \((-12) + 0 = -12\)
• Ters Eleman Özelliği: Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaret değiştirmiş halidir. Bir sayı ile tersinin toplamı sıfırdır.
• Formül: \(a + (-a) = 0\)
• Örnek: \((+6)\)nın tersi \((-6)\)dır ve \((+6) + (-6) = 0\). \((-15)\)in tersi \((+15)\)tir ve \((-15) + (+15) = 0\).

5. Tam Sayılarla İlgili Problem Çözme 🧠

• Sıcaklık Değişimleri: Sıcaklık artışı (+) ile, azalışı (-) ile ifade edilir. Son sıcaklığı bulmak için başlangıç sıcaklığına değişimler eklenir. Sıcaklık farkı bulmak için büyük sıcaklıktan küçük sıcaklık çıkarılır.
• Örnek: \(2^\circ C\) olan bir yerin sıcaklığı \(-5^\circ C\) olan bir yerden kaç derece fazladır? \((+2) - (-5) = (+2) + (+5) = +7^\circ C\).
• Yükseklik ve Derinlik: Deniz seviyesi \(0\) kabul edilir. Yükseklik (+) ile, derinlik (-) ile ifade edilir.
• Belirli Aralıktaki Tam Sayıların Toplamı: Verilen iki sayı arasındaki tam sayıları yazarken, bu iki sayının kendisi dahil mi hariç mi olduğuna dikkat et. Ardından sayıları topla.
• Örnek: \(-11\) ile \(15\) arasındaki tam sayılar: \(-10, -9, \ldots, 0, \ldots, 13, 14\). Bu tür toplamalarda \(-10\) ile \(+10\) arasındaki sayılar birbirini götürerek \(0\) yapar. Geriye kalan sayıları toplamak daha kolaydır.
• Birden Fazla İşlemi İçeren Durumlar: Parantez içindeki işlemler önceliklidir. İşlemleri adım adım ve dikkatli bir şekilde yap.

💡 İpucu: Problemleri çözerken, sayı doğrusunu zihninde canlandırmak veya küçük sayılarla örnekler yapmak sana çok yardımcı olabilir.

Unutmayın, matematik pratikle gelişir! Bu konuları bol bol tekrar edin ve farklı soru tipleri çözerek kendinizi geliştirin. Başarılar dilerim! 💪