🎓 8. Sınıf Üçgenler Test 7 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf "Üçgenler" konusunu kapsayan bir testteki soruları temel alarak hazırlanmıştır. Notlarımız, öğrencilerin üçgenlerin temel özelliklerini, yardımcı elemanlarını, kenar-açı ilişkilerini, üçgen eşitsizliğini ve dik üçgenlerde Pisagor bağıntısını pekiştirmelerine yardımcı olacaktır. Sınav öncesi son tekrarınızı yaparken bu notlardan faydalanabilirsiniz. 🚀

1. Üçgenin Yardımcı Elemanları: Kenarortay ve Açıortay

• Kenarortay (V): Bir üçgende, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Her üçgenin üç kenarortayı vardır ve bu kenarortaylar üçgenin içinde tek bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi (G) denir.
• 💡 İpucu: Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru 2:1 oranında böler. Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenara olan uzaklığın iki katıdır.
• ⚠️ Dikkat: Üçgenin türü ne olursa olsun (dar açılı, dik açılı, geniş açılı), tüm kenarortaylar ve dolayısıyla ağırlık merkezi her zaman üçgenin iç bölgesinde bulunur.
• Örnek: Bir üçgenin kenarortayı, 10 cm uzunluğundaki bir kenarı iki eşit parçaya ayırır. Bu parçaların her biri $10 \div 2 = 5$ cm olur.
• Açıortay (n): Bir üçgende, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir. Her üçgenin üç açıortayı vardır ve bu açıortaylar da üçgenin içinde tek bir noktada kesişir. Bu noktaya iç teğet çemberin merkezi denir.
• 💡 İpucu: Açıortay üzerindeki herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.
• Örnek: Bir açıyı 60 dereceden 30'ar derecelik iki eşit parçaya bölen doğru parçası, o açının açıortayıdır.

2. Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki vardır. Bu ilişkiye üçgen eşitsizliği denir. Bir üçgen oluşturabilmek için bu kurala uyulması şarttır. 📐

• Kural: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.
• Kenar uzunlukları $a, b, c$ olan bir üçgen için:
  $|b - c| < a < b + c$
  $|a - c| < b < a + c$
  $|a - b| < c < a + b$
• Örnek: Kenar uzunlukları 4 cm, 5 cm ve 1 cm olan bir üçgen oluşturulamaz. Çünkü $4 + 1 = 5$ ve $5$ sayısı diğer kenar olan $5$'e eşit olamaz, küçük olmalıdır. ($|5-4|<1<5+4 \Rightarrow 1<1<9$ yanlış bir ifadedir.)
• Birden Fazla Üçgen İçeren Durumlar: Eğer bir şekil birden fazla üçgen içeriyorsa, her bir üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliği uygulanır ve elde edilen eşitsizliklerin ortak çözüm kümesi bulunur.
• Çevre ve Kenar İlişkisi: Çevresi bilinen bir üçgende, en uzun kenarın alabileceği değerler üçgen eşitsizliği ile sınırlıdır. Örneğin, çevresi $Ç$ olan bir üçgende en uzun kenar $x$ ise, $x < Ç/2$ olmak zorundadır. Aksi takdirde diğer iki kenarın toplamı $x$'e eşit veya daha küçük olur ve üçgen oluşmaz.

3. Üçgende Kenar-Açı İlişkisi

Bir üçgende kenarlar ile açıları arasında doğrudan bir ilişki vardır. 📏

• Kural: Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Eşit açılar karşısında ise eşit kenarlar bulunur (ikizkenar üçgen).
• Eğer $m(\hat{A}) > m(\hat{B}) > m(\hat{C})$ ise, bu açıların karşısındaki kenarlar için de $a > b > c$ sıralaması geçerlidir.
• Örnek: Bir üçgende açılar $70^\circ, 60^\circ, 50^\circ$ ise, en büyük açı olan $70^\circ$'nin karşısındaki kenar en uzun, en küçük açı olan $50^\circ$'nin karşısındaki kenar ise en kısa kenardır.
• Üçgen İç Açılar Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^\circ$'dir. Bu bilgi, verilmeyen açıları bulmak için kullanılır.
• Dik Üçgenlerde Kenar-Açı İlişkisi: Dik üçgende en büyük açı $90^\circ$'dir. Bu açının karşısındaki kenara hipotenüs denir ve hipotenüs, dik üçgenin her zaman en uzun kenarıdır.
• Birden Fazla Üçgen İçeren Durumlar: Birden fazla üçgenin birleşimiyle oluşan şekillerde, her bir üçgen için ayrı ayrı kenar-açı ilişkisi belirlenir ve ardından tüm şeklin en uzun veya en kısa kenarı bu karşılaştırmalar sonucunda bulunur.

4. Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Sadece dik açılı üçgenlere özgü çok önemli bir bağıntıdır. 📐

• Tanım: Bir açısı $90^\circ$ olan üçgene dik üçgen denir. $90^\circ$'lik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.
• Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
• Dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c$ ise: $a^2 + b^2 = c^2$
• Örnek: Dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsü $3^2 + 4^2 = c^2 \Rightarrow 9 + 16 = c^2 \Rightarrow 25 = c^2 \Rightarrow c = 5$ cm'dir. (Bu 3-4-5 özel üçgenidir.)
• Dik Üçgenin Alanı: Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.
• Alan = $(dik\ kenar_1 \times dik\ kenar_2) / 2$
• Günlük Hayattan Örnek: Bir merdivenin duvara dayalı duruşu, yer ve duvar ile birlikte bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğu hipotenüsü, duvardaki yüksekliği ve yerdeki uzaklığı dik kenarları temsil eder. 🪜
• Kare ve Köşegen: Bir karenin köşegeni, kareyi iki eş dik ikizkenar üçgene ayırır. Karenin kenar uzunluğu $a$ ise, köşegen uzunluğu $a\sqrt{2}$ olur. Bu da Pisagor bağıntısından gelir: $a^2 + a^2 = (köşegen)^2 \Rightarrow 2a^2 = (köşegen)^2 \Rightarrow köşegen = a\sqrt{2}$.

5. Üçgenin Çevresi ve Alanı

• Çevre: Bir üçgenin çevresi, üç kenar uzunluğunun toplamıdır.
• Çevre = $a + b + c$
• Alan: Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
• Alan = $(taban \times yükseklik) / 2$

Bu ders notları, "Üçgenler" ünitesindeki temel kavramları hatırlamanıza ve testlerde karşılaşabileceğiniz soru tiplerine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır. Bol şans dileriz! ✨