Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri!

Doğrusal denklemler konusu, matematiğin temel taşlarından biri olup, günlük hayattaki birçok durumu anlamamıza ve modellememize yardımcı olur. Bu ders notu, "8. Sınıf Doğrusal Denklemler Test 12" testindeki soruları temel alarak, konunun en kritik noktalarını ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini kapsayan kapsamlı bir tekrar rehberi niteliğindedir.

Bu test; bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını kontrol etmekten, grafiği verilen bir doğrunun denklemini yazmaya, özel doğruların grafiklerini tanımaktan, gerçek hayat problemlerini doğrusal denklemler ve grafiklerle ifade etmeye kadar geniş bir yelpazeyi ele almaktadır. Sınav öncesi son tekrarınız için bu notları dikkatlice okumanızı ve anlamadığınız yerleri tekrar etmenizi şiddetle tavsiye ederim!

Doğrusal Denklemler ve Noktalar

• Bir Noktanın Doğru Üzerinde Olması: Bir noktanın (x, y) koordinatları, eğer o noktanın ait olduğu doğrunun denklemini sağlıyorsa, o nokta doğrunun üzerindedir. Yani, denklemdeki x ve y değişkenleri yerine noktanın koordinatlarını yazdığımızda eşitlik doğru olmalıdır.
• Grafik Üzerindeki Noktalardan Bilinmeyen Bulma: Eğer bir nokta bir doğrunun grafiği üzerindeyse ve bu noktanın koordinatlarından biri bilinmiyorsa, bilinen koordinatı denklemde yerine yazarak bilinmeyeni bulabiliriz. Örneğin, (m, 2) noktası y = 3x doğrusu üzerindeyse, y yerine 2, x yerine m yazarak 2 = 3m denklemini çözebiliriz.

⚠️ Dikkat: Koordinatları yazarken (x, y) sırasına dikkat edin. İlk sayı her zaman x koordinatını, ikinci sayı y koordinatını temsil eder.

Doğrusal Denklemlerin Grafikleri

• Denklemden Grafik Çizme:
  • Genellikle en az iki nokta bularak grafik çizilir. En kolay yöntemlerden biri, x'e 0 verip y'yi bulmak (y eksenini kestiği nokta) ve y'ye 0 verip x'i bulmaktır (x eksenini kestiği nokta).
  • Eğer denklem y = mx şeklinde ise (sabit terim yoksa), doğru orijinden (0,0) geçer. Bu durumda orijin dışında bir nokta daha bularak grafiği çizebiliriz.
• Grafikten Denklem Yazma:
  • Orijinden Geçen Doğrular (y = mx): Bu tür doğruların denklemini bulmak için grafikteki herhangi bir noktayı (x, y) belirleyip y/x oranını bularak eğimi (m) hesaplayabiliriz. Örneğin, (1, 5) noktasından geçen orijinli bir doğru için m = 5/1 = 5'tir, yani denklem y = 5x olur.
  • Genel Doğrular (y = mx + n): Grafikte verilen iki noktayı kullanarak önce eğimi (m) buluruz. Eğim, y değerlerindeki değişim bölü x değerlerindeki değişimdir. Daha sonra, bulduğumuz eğimi ve noktalardan birini denklemde yerine yazarak n (y eksenini kestiği nokta) değerini buluruz.
• Özel Doğrular:
  • x = a Doğrusu: Bu doğru, x eksenini "a" noktasında kesen ve y eksenine paralel olan dikey bir doğrudur. Örneğin, x = 2 doğrusu, x eksenini 2 noktasında keser ve y eksenine paraleldir.
  • y = b Doğrusu: Bu doğru, y eksenini "b" noktasında kesen ve x eksenine paralel olan yatay bir doğrudur. Örneğin, y = 4 doğrusu, y eksenini 4 noktasında keser ve x eksenine paraleldir.
  • Orijinden Geçen Doğrular: Sabit terimi olmayan (ax + by = 0 veya y = mx) denklemlerin grafikleri orijinden (0,0) geçer.

💡 İpucu: Bir doğru y eksenine dik ise x eksenine paraleldir ve denklemi y = b şeklindedir. Bu durumda x'li terimin katsayısı 0 olmalıdır. Bir doğru x eksenine dik ise y eksenine paraleldir ve denklemi x = a şeklindedir. Bu durumda y'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.

Gerçek Hayat Problemleri ve Doğrusal İlişkiler

• Sözel Problemleri Tabloya Dönüştürme: Verilen bir sözel problemi, bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirleyerek bir tablo halinde düzenlemek, doğrusal ilişkiyi anlamanın ilk adımıdır. Örneğin, ağaçlık alan ve oksijen ihtiyacı gibi.
• Grafik Yorumlama ve Oluşturma:
  • Gerçek hayat senaryolarında, zaman, miktar, mesafe gibi değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiler grafiklerle gösterilir.
  • Artan bir ilişki pozitif eğimli bir doğruyla (yukarı doğru), azalan bir ilişki negatif eğimli bir doğruyla (aşağı doğru) gösterilir.
  • Başlangıç değeri (y eksenini kestiği nokta) ve değişim hızı (eğim) grafiği doğru yorumlamak için önemlidir.
  • Örneğin, okunan sayfa sayısı zamanla artarken, kalan sayfa sayısı zamanla azalır. Depodaki su miktarı zamanla azalır. Kullanılan mürekkep artarken, kalan mürekkep azalır.
• Kesişim Noktası ve Eşitlenme Anı: İki farklı doğrusal ilişkinin grafiklerinin kesiştiği nokta, o anki değişkenlerin birbirine eşit olduğu durumu ifade eder. Örneğin, iki aracın karşılaşma anı veya iki ağacın boylarının eşitlendiği zaman. Bu noktayı bulmak için iki denklemi birbirine eşitleyerek çözüm yapabiliriz.

⚠️ Dikkat: Gerçek hayat problemlerinde, grafiklerin başlangıç noktaları (0. an veya 0. km gibi) ve eksenlerin neyi temsil ettiği çok önemlidir. Örneğin, taksi ücreti problemlerinde başlangıç ücreti (açılış ücreti) y eksenini kestiği noktayı verir.

Sevgili öğrenciler,

Doğrusal denklemler konusu, bol pratik gerektiren bir alandır. Bu ders notunda ele alınan her bir başlığı, farklı soru tipleriyle pekiştirmeniz, konuya olan hakimiyetinizi artıracaktır. Özellikle grafik çizme ve yorumlama becerilerinizi geliştirmeye odaklanın. Unutmayın, her doğru cevap sizi hedeflerinize bir adım daha yaklaştırır!

Başarılar dilerim!