🎓 8. Sınıf Doğrusal Denklemler Test 8 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf doğrusal denklemler konusundaki temel kavramları, grafik çizimlerini, koordinat sistemi üzerindeki uygulamaları ve doğrusal ilişkilerin modellenmesini kapsamaktadır. Sınav öncesi son tekrarınız için önemli bilgiler ve pratik ipuçları içerir. Hazırsanız, doğrusal denklemlerin dünyasına dalalım! 🚀

1. Koordinat Sistemi ve Noktalar 📍

Koordinat sistemi, bir noktanın konumunu belirlememizi sağlayan iki dik sayı doğrusundan oluşur. Yatay eksene x ekseni (apsis), dikey eksene ise y ekseni (ordinat) denir. Bu iki eksenin kesiştiği noktaya orijin (başlangıç noktası) denir ve koordinatları (0, 0)'dır.

• Noktaların Koordinatları: Bir nokta (x, y) şeklinde gösterilir. İlk sayı x eksenindeki konumunu, ikinci sayı y eksenindeki konumunu belirtir. Örneğin, A(3, 5) noktası x ekseninde 3, y ekseninde 5 birim uzaklıktadır.
• Koordinat Sistemindeki Bölgeler: Koordinat sistemi 4 bölgeye ayrılır.
  • I. Bölge: x > 0, y > 0 (Her iki koordinat da pozitif)
  • II. Bölge: x < 0, y > 0 (x negatif, y pozitif)
  • III. Bölge: x < 0, y < 0 (Her iki koordinat da negatif)
  • IV. Bölge: x > 0, y < 0 (x pozitif, y negatif)
• Eksenlere Olan Uzaklık:
  • Bir (x, y) noktasının x eksenine uzaklığı |y| birimdir.
  • Bir (x, y) noktasının y eksenine uzaklığı |x| birimdir.

  💡 İpucu: Uzaklık her zaman pozitif bir değerdir, bu yüzden mutlak değer kullanılır.

• Noktalar Arası Uzaklık: Eğer iki noktanın x koordinatları aynıysa (örneğin A(x₁, y₁) ve B(x₁, y₂)), aralarındaki uzaklık |y₂ - y₁|'dir. Eğer y koordinatları aynıysa (örneğin C(x₁, y₁) ve D(x₂, y₁)), aralarındaki uzaklık |x₂ - x₁|'dir.
• Noktaların Ötelenmesi: Bir noktayı koordinat sisteminde hareket ettirmek (ötelemek), koordinatlarını değiştirmek demektir.
  • Sağa hareket: x koordinatına eklenir.
  • Sola hareket: x koordinatından çıkarılır.
  • Yukarı hareket: y koordinatına eklenir.
  • Aşağı hareket: y koordinatından çıkarılır.

  Örneğin, A(2, 3) noktasını 5 birim sağa ve 7 birim aşağı ötelerseniz, yeni nokta A'(2+5, 3-7) = A'(7, -4) olur.
• Geometrik Şekiller ve Koordinat Sistemi: Koordinat sisteminde verilen noktalarla dikdörtgen, kare, üçgen gibi geometrik şekiller oluşturulabilir. Bu şekillerin çevre ve alanlarını bulmak için kenar uzunluklarını koordinatlar yardımıyla hesaplamanız gerekir.

2. Doğrusal Denklemler ve Grafikleri 📈

İki değişkenli (genellikle x ve y) ve en yüksek derecesi 1 olan denklemlere doğrusal denklem denir. Bu denklemlerin grafikleri bir doğru oluşturur.

• Doğrusal Denklemin Genel Şekli:
  

  Ax + By + C = 0 (Kapalı Form) veya y = ax + b (Eğim-Kesim Noktası Formu)

  Burada A, B, C, a ve b birer sabittir.
• Grafik Çizimi için Eksenleri Kesen Noktalar: Bir doğrunun grafiğini çizmek için genellikle x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulmak en kolay yoldur.
  • x eksenini kestiği nokta: y = 0 yazılarak x değeri bulunur. (x, 0)
  • y eksenini kestiği nokta: x = 0 yazılarak y değeri bulunur. (0, y)

  Bu iki nokta bulunduktan sonra, koordinat sisteminde işaretlenir ve bir doğru ile birleştirilir.

  Örnek: 3x + y = 3 denkleminin grafiği için:

  • x = 0 için: 3(0) + y = 3 ⇒ y = 3. Nokta (0, 3)
  • y = 0 için: 3x + 0 = 3 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1. Nokta (1, 0)
  Bu iki noktayı birleştiren doğru, denklemin grafiğidir.

• Orijinden Geçen Doğrular: Bir doğrusal denklem y = ax veya Ax + By = 0 şeklinde ise (yani sabit terim C veya b yoksa), grafiği orijinden (0, 0) geçer.

  ⚠️ Dikkat: Eğer denklemde sabit bir terim varsa (örneğin y = 2x + 5 veya 3x - y = 10), doğru orijinden geçmez.

• Eksenlere Paralel Doğrular (Özel Durumlar):
  • x = k şeklindeki doğrular: y eksenine paraleldir ve x eksenini (k, 0) noktasında keser. Bu doğrular y eksenini kesmez.
  • y = k şeklindeki doğrular: x eksenine paraleldir ve y eksenini (0, k) noktasında keser. Bu doğrular x eksenini kesmez.

  💡 İpucu: Bir doğru hem x hem de y eksenini kesmiyorsa, bu doğru ya x eksenine paraleldir (y=k) ya da y eksenine paraleldir (x=k). Orijinden geçen doğrular hariç, diğer tüm doğrular her iki ekseni de keser.

• Grafiğin Geçtiği Bölgeler: Bir doğrunun grafiğini çizerek veya eksenleri kestiği noktalara bakarak hangi bölgelerden geçtiğini veya geçmediğini belirleyebilirsiniz.
• Eksenlerle Oluşan Üçgenin Alanı: Bir doğru, x ve y eksenlerini keserek orijinle birlikte bir dik üçgen oluşturabilir. Bu üçgenin alanı, x eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığı ile y eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığının çarpımının yarısıdır. Yani, Alan = (|x_kesen| * |y_kesen|) / 2.

3. Doğrusal İlişkiler ve Denklem Kurma 📊

İki nicelik arasında sabit bir artış veya azalış varsa, bu iki nicelik arasında doğrusal bir ilişki vardır. Bu ilişki bir denklemle ifade edilebilir.

• Doğrusal İlişkinin Belirlenmesi: Verilen bir tabloda x değerleri düzenli artarken y değerleri de düzenli (sabit bir miktar kadar) artıyor veya azalıyorsa, bu bir doğrusal ilişkidir.
• Doğrusal İlişkinin Denklemini Yazma: y = ax + b şeklinde bir denklem kurulur.
  • a (eğim): y değerlerindeki değişim / x değerlerindeki değişim (sabit artış/azalış miktarı).
  • b (sabit terim): x = 0 olduğunda y'nin aldığı değerdir. Eğer x 1'den başlıyorsa, b değerini bulmak için y değerinden a*x değerini çıkarabilirsiniz. Örneğin, x=1 için y=7 ve a=9 ise, 7 = 9(1) + b ⇒ b = -2 olur.

  Örnek: Bir bitkinin başlangıç boyu 41 cm ve her ay 7 cm uzuyorsa, t ay sonraki boyu (B) için denklem: B = 7t + 41 olur.

• Problemleri Modelleme ve Çözme: Günlük hayattaki birçok durum doğrusal ilişkilerle modellenebilir (birikim, harcama, büyüme, taksi ücreti vb.). Bu problemleri çözmek için öncelikle durumu bir doğrusal denklemle ifade etmeli, ardından istenen değeri bulmak için denklemde yerine koyma veya denklemi çözme yöntemlerini kullanmalısınız.
• Değer Bulma: Doğrusal bir ilişkide bir değişkenin değeri verildiğinde, denklemi kullanarak diğer değişkenin değerini bulabilirsiniz. Sadece verilen değeri denklemde yerine yazmanız yeterlidir.

Unutmayın, bol pratik yapmak ve farklı soru tiplerini çözmek konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır. Başarılar dilerim! ✨