Bu ders notu, 8. sınıf öğrencilerinin "Doğrusal Denklemler" ünitesindeki temel kavramları pekiştirmesi ve testlerde karşılaşabilecekleri soru tiplerine hazırlanması amacıyla hazırlanmıştır. Test genel olarak koordinat sistemi, noktaların konumları, bölgeler, doğrusal denklemlerin grafikleri ve doğrusal ilişkiler üzerine odaklanmaktadır. 🚀

📍 Koordinat Sistemi ve Noktalar

• Koordinat Düzlemi: Birbirine dik kesişen iki sayı doğrusundan (x ekseni ve y ekseni) oluşan düzlemdir. Bu eksenlerin kesişim noktasına orijin (başlangıç noktası) denir ve koordinatları (0,0) ile gösterilir. 🌍
• Noktaların Koordinatları: Bir noktayı koordinat düzleminde belirtmek için sıralı ikililer kullanılır. (x, y) şeklinde yazılır.
  • İlk sayıya apsis (x koordinatı), ikinci sayıya ordinat (y koordinatı) denir.
  • Örneğin, A(3, -2) noktası, x ekseninde 3 birim sağa, y ekseninde 2 birim aşağıya gidilerek bulunur.
• Bölgeler (Kadrantlar): Koordinat düzlemi, eksenler tarafından dört bölgeye ayrılır. Saat yönünün tersine doğru numaralandırılırlar:
  • 1. Bölge: Apsis (+) ve Ordinat (+) işaretlidir. (Örnek: (2, 5))
  • 2. Bölge: Apsis (-) ve Ordinat (+) işaretlidir. (Örnek: (-3, 4))
  • 3. Bölge: Apsis (-) ve Ordinat (-) işaretlidir. (Örnek: (-1, -6))
  • 4. Bölge: Apsis (+) ve Ordinat (-) işaretlidir. (Örnek: (7, -1))
• ⚠️ Dikkat: Eksenler üzerinde bulunan noktalar (örneğin (5,0) veya (0,-3)) hiçbir bölgede yer almazlar.
• İki Nokta Arasındaki Uzaklık:
  • Eksenlere paralel doğru parçalarının uzunluğu, koordinatların farkının mutlak değeri alınarak bulunur.
    • x koordinatları aynı olan noktalar (a, y1) ve (a, y2) arasındaki uzaklık: $|y_2 - y_1|$
    • y koordinatları aynı olan noktalar (x1, b) ve (x2, b) arasındaki uzaklık: $|x_2 - x_1|$
  • Genel durumda, bir dik üçgen oluşturularak Pisagor Teoremi ($a^2 + b^2 = c^2$) ile uzaklık bulunabilir. Özellikle eksenler üzerindeki noktalarla orijinin oluşturduğu üçgenlerde bu yöntem sıkça kullanılır.
• 💡 İpucu: Bir noktanın koordinatları cebirsel ifadelerle verilirse, orijin (0,0) olduğunu biliyorsak, o ifadeleri sıfıra eşitleyerek bilinmeyenleri bulabiliriz. Örneğin (2x+4, y-3) orijin ise, 2x+4=0 ve y-3=0 denklemleri çözülür.

📈 Doğrusal Denklemler ve Grafikleri

• Doğrusal Denklem: Grafiği bir doğru oluşturan denklemlerdir. Genellikle $ax + by + c = 0$ veya $y = mx + n$ şeklinde ifade edilirler.
• Grafik Çizimi: Bir doğrunun grafiğini çizmek için en az iki noktasına ihtiyacımız vardır. En kolay yol eksenleri kestiği noktaları bulmaktır:
  • x eksenini kestiği nokta: Denklemde $y=0$ yazılarak x değeri bulunur. (x, 0) noktası.
  • y eksenini kestiği nokta: Denklemde $x=0$ yazılarak y değeri bulunur. (0, y) noktası.
• Özel Doğrular:
  • $y = b$ Şeklindeki Doğrular: x eksenine paraleldirler ve y eksenini (0, b) noktasında keserler. (Örnek: $y=5$ doğrusu, y eksenini 5'te kesen ve x eksenine paralel bir doğrudur.)
  • $x = a$ Şeklindeki Doğrular: y eksenine paraleldirler ve x eksenini (a, 0) noktasında keserler. (Örnek: $x=-3$ doğrusu, x eksenini -3'te kesen ve y eksenine paralel bir doğrudur.)
  • $y = mx$ Şeklindeki Doğrular: Sabit terimi olmayan bu denklemlerin grafikleri daima orijinden (0,0) geçer. (Örnek: $y = -4x$ doğrusu orijinden geçer.)
• 💡 İpucu: Bir noktanın bir doğrunun üzerinde olup olmadığını anlamak için, noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyarız. Eğer eşitlik sağlanıyorsa nokta doğrunun üzerindedir.

🔗 Doğrusal İlişkiler ve Denklemler

• Doğrusal İlişki: İki değişken arasındaki değişimin sabit bir oranda olduğu ilişkilerdir. Örneğin, her gün 5 sayfa kitap okuyan birinin okuduğu sayfa sayısı ile geçen gün sayısı arasındaki ilişki doğrusal bir ilişkidir. 📚
• Bağımlı ve Bağımsız Değişkenler:
  • Bağımsız Değişken: Değeri başka bir değişkene bağlı olmayan, değişimi kendiliğinden gerçekleşen değişkendir. Genellikle x ile gösterilir. (Örnek: Geçen süre, gidilen yol, harcanan para)
  • Bağımlı Değişken: Değeri bağımsız değişkene bağlı olarak değişen değişkendir. Genellikle y ile gösterilir. (Örnek: Kalan ürün miktarı, harcanan yakıt, kazanılan para)
  • Örnek: Bir aracın gittiği yol arttıkça harcadığı yakıt miktarı artar. Burada "gidilen yol" bağımsız değişken, "harcanan yakıt" bağımlı değişkendir. ⛽
• Denklem Kurma: Günlük hayattan veya tablolardan verilen bilgilere göre doğrusal bir ilişkiyi matematiksel bir denklemle ifade edebiliriz.
  • Tablolarda, bir değişkenin sabit artışına karşılık diğer değişkenin de sabit bir artış veya azalış gösterip göstermediğine bakılır. Bu artış/azalış oranı denklemin eğimini ($m$) verir.
  • Örneğin, x 1 arttığında y 4 artıyorsa, denklem $y = 4x + n$ şeklindedir. Başlangıç değerini (x=0 için y değeri) bularak $n$ sabitini bulabiliriz.
• Denklem Çözme: Kurulan veya verilen doğrusal denklemlerde bilinmeyeni bulmak için temel denklem çözme adımları uygulanır (bilinmeyenleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplama, çarpma/bölme işlemleri).