🎓 8. Sınıf Doğrusal Denklemlerin Grafiği Test 7 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf doğrusal denklemlerin grafiği konusundaki temel kavramları, grafik çizim yöntemlerini, doğru denklemi yazmayı ve doğruların birbirine göre durumlarını kapsar. Koordinat sistemi, noktaların doğru üzerinde olma şartı, eğim ve geometrik şekillerle ilişkili uygulamalar üzerinde durulmuştur. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarını yapman için sana yol gösterecektir. 🚀

1. Koordinat Sistemi ve Noktalar 🌍

• Koordinat sistemi, iki sayı doğrusunun (x ve y eksenleri) dik kesişmesiyle oluşur. Bu eksenlerin kesişim noktasına orijin (başlangıç noktası) denir ve koordinatları (0, 0)'dır.
• Bir nokta, (x, y) şeklinde sıralı ikili ile gösterilir. İlk sayı x eksenindeki konumunu (apsis), ikinci sayı y eksenindeki konumunu (ordinat) belirtir.
• Örnek: (3, 0) noktası x ekseni üzerindedir. (0, -2) noktası y ekseni üzerindedir. Bir uçağın radar ekranındaki konumu veya bir şehrin haritadaki yeri gibi düşünebilirsin.
• ⚠️ Dikkat: Koordinatları yazarken sıra önemlidir. (3, 5) ile (5, 3) farklı noktalardır.

2. Doğrusal Denklemler ve Grafikleri 📈

• Doğrusal Denklem: ax + by + c = 0 (veya y = mx + n) şeklinde yazılabilen, grafiği bir doğru oluşturan denklemlerdir. Burada a, b, c birer gerçek sayı ve a ile b aynı anda sıfır olamaz.
• Grafik Çizimi: Bir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için genellikle iki nokta bulmak yeterlidir. En kolay yöntemlerden biri, doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmaktır.
• x eksenini kestiği nokta: y = 0 yazılarak x değeri bulunur. (x, 0)
• y eksenini kestiği nokta: x = 0 yazılarak y değeri bulunur. (0, y)
• 💡 İpucu: Eğer denklem orijinden geçiyorsa (yani c = 0 ise, y = mx formunda ise), eksenleri kestiği noktalar (0,0) olacaktır. Bu durumda grafiği çizmek için orijin dışında bir nokta daha bulmalısın. Örneğin x=1 için y değerini bulabilirsin.

3. Özel Doğrular ✨

• x = a Doğruları: y eksenine paralel, x eksenini "a" noktasında kesen doğrulardır. Örneğin, x = 4 doğrusu, koordinatları (4, y) olan tüm noktaları içerir. Bir binanın duvarı gibi düşünebilirsin, hep aynı x hizasında.
• y = b Doğruları: x eksenine paralel, y eksenini "b" noktasında kesen doğrulardır. Örneğin, y = -2 doğrusu, koordinatları (x, -2) olan tüm noktaları içerir. Bir masanın üst yüzeyi gibi, hep aynı y hizasında.
• y = mx Doğruları: Orijinden (0,0) geçen doğrulardır. "m" doğrunun eğimidir.
• y = x Doğrusu: Orijinden geçen ve 1. ile 3. bölgelerden geçen, x ve y koordinatları eşit olan noktaların oluşturduğu doğrudur. Eğim = 1'dir.
• y = -x Doğrusu: Orijinden geçen ve 2. ile 4. bölgelerden geçen, x ve y koordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğrudur. Eğim = -1'dir.

4. Doğru Denklemi Yazma ✍️

• İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: Eğer doğrunun geçtiği iki nokta (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) biliniyorsa, önce eğim (m) bulunur: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). Sonra y - y₁ = m(x - x₁) formülü kullanılarak denklem yazılır.
• Orijinden ve Bir Noktadan Geçen Doğru: Eğer doğru orijinden (0,0) ve bir (x₁, y₁) noktasından geçiyorsa, denklemi y = mx şeklindedir. Eğim m = y₁ / x₁ olarak bulunur. Örneğin, orijinden ve (-5, 2) noktasından geçen doğrunun eğimi m = 2 / (-5) = -2/5'tir. Denklem y = (-2/5)x veya 5y = -2x veya 2x + 5y = 0 olur.
• Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru: x eksenini (a, 0) ve y eksenini (0, b) noktasında kesen bir doğrunun denklemi genellikle x/a + y/b = 1 şeklinde yazılabilir. Bu formül, denklemi hızlıca bulmak için kullanışlıdır.
• 💡 İpucu: Şıklardan gitmek de bir yöntemdir. Verilen noktaları denklemlerde yerine koyarak hangi denklemin tüm noktaları sağladığını kontrol edebilirsin.

5. Bir Noktanın Doğru Üzerinde Olması ✅

• Bir nokta, bir doğrunun grafiği üzerinde ise, o noktanın koordinatları (x, y) doğru denklemini sağlamak zorundadır. Yani x ve y değerleri denklemde yerine konulduğunda eşitlik doğru olmalıdır.
• Örnek: K(m, 2m + 3) noktası y = 3x doğrusu üzerindeyse, x yerine 'm' ve y yerine '2m + 3' yazılır: 2m + 3 = 3m. Bu denklemi çözerek 'm' değerini bulabiliriz (3 = 3m - 2m => m = 3).
• ⚠️ Dikkat: Noktanın koordinatlarını denklemde doğru yerlere (x yerine x değeri, y yerine y değeri) yazdığından emin ol.

6. Doğruların Birbirine Göre Durumları ve Eğim ↔️

• Eğim (m): Bir doğrunun y ekseni ile yaptığı açının tanjantı veya dikey değişim / yatay değişim oranıdır. y = mx + n şeklinde verilen bir denklemde 'm' eğimi temsil eder. Bir rampanın dikliği gibi düşünebilirsin.
• Paralel Doğrular: Eğimleri eşit olan doğrular birbirine paraleldir ve asla kesişmezler (çakışık doğrular hariç). Örneğin, y = 2x + 3 ve y = 2x - 5 doğruları paraleldir. Bir tren rayı gibi, hep aynı uzaklıkta ilerlerler.
• Kesişen Doğrular: Eğimleri farklı olan doğrular bir noktada kesişirler. Bir yol kavşağı gibi.
• Özel Durumlar:
• x = a şeklindeki doğrular birbirine paraleldir (eğimleri tanımsızdır).
• y = b şeklindeki doğrular birbirine paraleldir (eğimleri 0'dır).
• x = a ve y = b şeklindeki doğrular her zaman dik kesişirler.
• 💡 İpucu: Doğruların kesişip kesişmediğini anlamak için denklemlerini y = mx + n formuna getirip eğimlerini karşılaştırabilirsin. Aynı eğime sahiplerse ve y-kesenleri farklıysa paraleldirler.

7. Geometrik Şekillerle İlişkili Uygulamalar 📐

• Doğrusal denklemler, koordinat sisteminde kare, dikdörtgen, üçgen, yamuk gibi geometrik şekillerin kenarlarını veya köşelerini tanımlamak için kullanılabilir.
• Şekillerin alanını veya çevresini hesaplarken, noktaların koordinatlarını kullanarak kenar uzunluklarını veya yükseklikleri bulman gerekebilir.
• Kare: Tüm kenar uzunlukları eşit ve iç açıları 90 derecedir. Köşegenleri birbirini dik ortalar. Eğer bir köşesinin koordinatları biliniyorsa, diğer köşelerin koordinatları kenar uzunlukları ve eksenlere paralellik durumuna göre kolayca bulunabilir.
• Yamuk: En az bir çift kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarların eğimleri eşit olmalıdır.
• Örnek: Bir karenin bir köşesi D(3, 5) ise ve kenarları eksenlere paralelse, karenin bir kenar uzunluğu 3 birim veya 5 birim olabilir. Eğer karenin bir köşesi orijin ise ve D(3,5) ise bu bir kare olamaz (çünkü kenar uzunlukları farklı olur). Genellikle eksenlere paralel kenarlar verilir ve bu durumda koordinatlar arasındaki farklar kenar uzunluklarını verir.
• 💡 İpucu: Geometrik şekillerle ilgili sorularda, şeklin özelliklerini (kenar uzunlukları, açılar, paralellik vb.) iyi bilmek ve koordinat sistemine doğru bir şekilde aktarmak çok önemlidir. Çizim yaparak görselleştirmek hatayı azaltır.