🎓 8. Sınıf Doğrusal Denklemlerin Grafiği Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, doğrusal denklemlerin grafikleri konusundaki temel bilgileri, grafik çizim yöntemlerini, özel doğru denklemlerini ve bu doğruların koordinat sistemi üzerindeki davranışlarını kapsamaktadır. Sınavda karşılaşabileceğin grafik yorumlama, denklemden grafik çıkarma, grafik üzerindeki noktaları kullanma ve alan hesaplama gibi konulara odaklanılmıştır. Konuları pekiştirmek ve sık yapılan hatalardan kaçınmak için önemli ipuçları ve dikkat edilmesi gereken noktalar da bu notlarda yer almaktadır. 🚀

1. Doğrusal Denklemlerin Grafiğini Çizme Yöntemleri

Bir doğrusal denklemin grafiği, koordinat sisteminde bir doğruyu temsil eder. Bu doğruyu çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır.

• Eksenleri Kestiği Noktaları Bulma Yöntemi: Bu yöntem, genellikle en pratik yoldur.
• x eksenini kestiği noktayı bulmak için: Denklemde y yerine 0 yazılır ve x değeri bulunur. Bu nokta (x, 0) şeklindedir.
• y eksenini kestiği noktayı bulmak için: Denklemde x yerine 0 yazılır ve y değeri bulunur. Bu nokta (0, y) şeklindedir.
• Bulunan bu iki nokta koordinat sisteminde işaretlenir ve birleştirilerek doğru çizilir.
• Örnek:
  3x + y = 3 denkleminin grafiğini çizelim.
  x = 0 için: 3(0) + y = 3 ⇒ y = 3. Nokta: (0, 3)
  y = 0 için: 3x + 0 = 3 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1. Nokta: (1, 0)
  Bu iki noktayı birleştirerek doğruyu çizebiliriz.
• Nokta Belirleme (Değer Verme) Yöntemi: Bazen eksenleri kesen noktalar kesirli çıkabilir veya orijinden geçen doğrularda tek nokta (orijin) bulunur. Bu durumlarda x'e veya y'ye farklı değerler vererek noktalar bulunur.
• x'e veya y'ye rastgele değerler (örneğin -1, 0, 1) vererek denklemde yerine yazılır ve karşılık gelen diğer değişkenin değeri bulunur.
• En az iki farklı nokta bulunduktan sonra bu noktalar birleştirilerek doğru çizilir.
• Örnek:
  x + y = 0 denkleminin grafiğini çizelim.
  x = 0 için: 0 + y = 0 ⇒ y = 0. Nokta: (0, 0) (Orijin)
  Tek bir nokta yeterli değildir. Bir nokta daha bulalım.
  x = 1 için: 1 + y = 0 ⇒ y = -1. Nokta: (1, -1)
  (0, 0) ve (1, -1) noktalarını birleştirerek doğruyu çizebiliriz.

⚠️ Dikkat: Doğrusal denklemlerin grafikleri her zaman bir doğrudur. Eğri çizmemeye özen göster!

2. Özel Doğrular ve Denklemleri

Bazı doğrusal denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde özel konumlar alır.

• Orijinden Geçen Doğrular:
• Denklemi y = mx veya ax + by = 0 şeklinde olan doğrular orijinden (0,0) noktasından geçer.
• Bu tür denklemlerde sabit terim (c) bulunmaz.
• Örnek: y = -x, x - 2y = 0, x + y = 0.
• 💡 İpucu: Bir doğrunun orijinden geçip geçmediğini anlamak için denklemde x yerine 0, y yerine 0 yaz. Eğer eşitlik sağlanıyorsa (0=0 oluyorsa), doğru orijinden geçer.
• Eksenlere Paralel Doğrular:
• x = a şeklindeki doğrular: y eksenine paraleldir ve x eksenini (a, 0) noktasında keser. Bu doğrular üzerindeki tüm noktaların x koordinatı 'a'dır.
• Örnek: x = 3 doğrusu, y eksenine paraleldir ve x eksenini 3 noktasında keser.
• y = b şeklindeki doğrular: x eksenine paraleldir ve y eksenini (0, b) noktasında keser. Bu doğrular üzerindeki tüm noktaların y koordinatı 'b'dir.
• Örnek: y = -3 doğrusu, x eksenine paraleldir ve y eksenini -3 noktasında keser.
• ⚠️ Dikkat: x = 0 doğrusu y ekseninin kendisidir. y = 0 doğrusu ise x ekseninin kendisidir. Bu doğrular da orijinden geçer.

3. Bir Noktanın Doğru Üzerinde Olması

Bir nokta, bir doğrunun üzerinde ise, o noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.

• Verilen noktanın (x, y) koordinatları, denklemdeki x ve y değişkenlerinin yerine yazılır.
• Eğer denklemde bilinmeyen bir katsayı (örneğin k veya a) varsa, bu işlemle o katsayı bulunabilir.
• Örnek:
  A(a, 4) noktası 8x - y = 12 doğrusunun üzerinde ise 'a' değeri nedir?
  x yerine 'a', y yerine '4' yazılır:
  8(a) - 4 = 12
8a = 12 + 4
8a = 16
a = 2

4. Koordinat Sisteminde Bölgeler

Koordinat sistemi dört bölgeden oluşur:

• I. Bölge: x > 0, y > 0 (Pozitif x, Pozitif y)
• II. Bölge: x < 0, y > 0 (Negatif x, Pozitif y)
• III. Bölge: x < 0, y < 0 (Negatif x, Negatif y)
• IV. Bölge: x > 0, y < 0 (Pozitif x, Negatif y)
• Bir doğrunun hangi bölgelerden geçtiğini anlamak için, eksenleri kestiği noktaları bulmak ve bu noktaların işaretlerine göre doğruyu hayali olarak çizmek yeterlidir.
• Örnek:
  3y = 5x - 15 doğrusunun grafiği koordinat sisteminin kaçıncı bölgesinden geçmez?
  x = 0 için: 3y = 5(0) - 15 ⇒ 3y = -15 ⇒ y = -5. Nokta: (0, -5) (y ekseni üzerinde)
  y = 0 için: 3(0) = 5x - 15 ⇒ 0 = 5x - 15 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3. Nokta: (3, 0) (x ekseni üzerinde)
  Bu doğru (3,0) ve (0,-5) noktalarından geçer. x pozitif, y negatif bölgelerden geçerek I, III ve IV. bölgeleri keser. Bu durumda II. bölgeden geçmez.

5. Doğruların Eksenlerle Oluşturduğu Alanlar

Bir doğru ve koordinat eksenleri arasında kalan bölge genellikle bir üçgen veya özel doğrularla bir dikdörtgen oluşturur.

• Üçgen Alanı: Bir doğru eksenleri (x, 0) ve (0, y) noktalarında kesiyorsa, eksenlerle oluşturduğu üçgenin tabanı |x|, yüksekliği |y| olur. Alan formülü: Area = ( |x| * |y| ) / 2
• Dikdörtgen Alanı: x = a ve y = b şeklindeki doğrular ile eksenler (x = 0, y = 0) arasında kalan bölge bir dikdörtgen oluşturur. Alan formülü: Area = |a| * |b|
• Örnek:
  2x - 4 = 0 ve y - 4 = 0 denklemleri ile verilen doğruların eksenlerle sınırladığı bölgenin alanı.
  2x - 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
y - 4 = 0 ⇒ y = 4
  Bu doğrular x=2, y=4 ve eksenler (x=0, y=0) ile bir dikdörtgen oluşturur. Alan = |2| * |4| = 8 birimkaredir.

6. Doğruların Eksenlere Göre Konumları

Doğruların eksenlere göre özel durumları vardır:

• y eksenine dik olan doğrular: x eksenine paraleldirler. Denklemleri y = b şeklindedir. Bu tür denklemlerde x'li terim bulunmaz, yani x'in katsayısı 0'dır.
• x eksenine dik olan doğrular: y eksenine paraleldirler. Denklemleri x = a şeklindedir. Bu tür denklemlerde y'li terim bulunmaz, yani y'nin katsayısı 0'dır.
• Örnek:
  (a + 2)x + y - 3 = 0 doğrusal denkleminin belirttiği doğru y eksenine dik olduğuna göre a kaçtır?
  Doğru y eksenine dik ise, x eksenine paraleldir. Yani denklemi y = b şeklinde olmalıdır. Bu da x'in katsayısının 0 olması gerektiği anlamına gelir.
  a + 2 = 0 ⇒ a = -2

💡 Genel İpucu: Doğrusal denklemlerin grafikleriyle ilgili sorularda, genellikle eksenleri kestiği noktaları bulmak veya bir noktanın denklemde yerine yazılması gibi temel adımlar çözümün anahtarıdır. Görsel sorular için grafikleri dikkatlice incele ve eksenler üzerindeki değerleri doğru oku. Denklemden grafiğe veya grafikten denkleme geçiş yaparken adımları karıştırmamaya özen göster. Başarılar! ✨