🎓 8. Sınıf Koordinat Sistemi ve Sıralı İkililer Test 3 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf seviyesindeki öğrencilerin koordinat sistemi ve sıralı ikililerle ilgili temel kavramları, noktaların konumlarını, bölgeleri, eksenlere uzaklıkları, noktaların hareketini ve koordinat sisteminde geometrik şekillerle ilgili problemleri anlamalarına yardımcı olmak amacıyla hazırlanmıştır. Sınav öncesi hızlı bir tekrar yapmak veya konuları pekiştirmek için harika bir kaynaktır. 🚀

1. Koordinat Sistemi ve Temel Kavramlar

• Koordinat Sistemi: İki sayı doğrusunun (x ve y ekseni) dik kesişmesiyle oluşan düzlemdir. Bu sistem, noktaların konumunu belirlememizi sağlar.
• x Ekseni (Apsis Ekseni): Yatay olan sayı doğrusudur. Noktaların sağa veya sola ne kadar gittiğini gösterir.
• y Ekseni (Ordinat Ekseni): Dikey olan sayı doğrusudur. Noktaların yukarı veya aşağı ne kadar gittiğini gösterir.
• Orijin (Başlangıç Noktası): x ve y eksenlerinin kesiştiği noktadır. Koordinatları her zaman (0, 0)'dır. 🎯
• Sıralı İkililer: Bir noktanın koordinat sistemindeki yerini belirten (x, y) şeklindeki sayılar çiftidir. İlk sayı x koordinatını (apsis), ikinci sayı y koordinatını (ordinat) gösterir.
• Apsis: Bir noktanın x koordinatıdır. Örneğin, A(3, -2) noktasının apsisi 3'tür.
• Ordinat: Bir noktanın y koordinatıdır. Örneğin, A(3, -2) noktasının ordinatı -2'dir.
• 💡 İpucu: Koordinatları okurken veya yazarken her zaman önce x değerini, sonra y değerini yazmayı unutmayın. (x, y) sırası çok önemlidir!

2. Koordinat Sisteminin Bölgeleri ve Noktaların Konumu

Koordinat sistemi, düzlemi dört bölgeye ayırır. Bölgeler saat yönünün tersine doğru numaralandırılır.

• I. Bölge: x pozitif (+), y pozitif (+) ➡️ (+, +). Örnek: (2, 5)
• II. Bölge: x negatif (-), y pozitif (+) ➡️ (-, +). Örnek: (-3, 4)
• III. Bölge: x negatif (-), y negatif (-) ➡️ (-, -). Örnek: (-1, -6)
• IV. Bölge: x pozitif (+), y negatif (-) ➡️ (+, -). Örnek: (4, -2)
• ⚠️ Dikkat: Eksenler üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye dahil değildir.
• x Ekseni Üzerindeki Noktalar: y koordinatı her zaman 0'dır. (x, 0) şeklinde gösterilir. Örnek: (5, 0)
• y Ekseni Üzerindeki Noktalar: x koordinatı her zaman 0'dır. (0, y) şeklinde gösterilir. Örnek: (0, -7)

3. Noktaların Eksenlere Uzaklığı

Bir noktanın eksenlere olan uzaklığı her zaman pozitif bir değerdir.

• x Ekseni'ne Uzaklık: Bir noktanın x eksenine olan uzaklığı, o noktanın y koordinatının mutlak değerine eşittir. |y| birimdir.
• y Ekseni'ne Uzaklık: Bir noktanın y eksenine olan uzaklığı, o noktanın x koordinatının mutlak değerine eşittir. |x| birimdir.
• 💡 İpucu: Uzaklıklar asla negatif olamaz! Örneğin, K(-4, 2) noktasının y eksenine uzaklığı |-4| = 4 birimdir, x eksenine uzaklığı ise |2| = 2 birimdir.

4. Koordinat Sisteminde Noktaların Hareketi (Öteleme)

Bir noktanın koordinat sisteminde belirli bir yönde ve mesafede yer değiştirmesine öteleme denir.

• Sağa Hareket: x koordinatı artar. (x + a, y)
• Sola Hareket: x koordinatı azalır. (x - a, y)
• Yukarı Hareket: y koordinatı artar. (x, y + b)
• Aşağı Hareket: y koordinatı azalır. (x, y - b)
• Örnek: A(-2, -2) noktasının 5 birim sağa ve 7 birim aşağı ötelenmesiyle oluşan yeni nokta:
  • x koordinatı: -2 + 5 = 3
  • y koordinatı: -2 - 7 = -9
  • Yeni nokta: (3, -9)
• ⚠️ Dikkat: Hareket yönüne göre koordinatlara doğru işaretle ekleme veya çıkarma yapmaya özen gösterin.

5. Koordinat Sisteminde Uzunluk ve Alan Hesaplama

Koordinat sisteminde verilen noktalarla oluşturulan geometrik şekillerin kenar uzunluklarını ve alanlarını hesaplayabiliriz.

• Yatay Uzunluk: Aynı y koordinatına sahip iki nokta arasındaki uzaklık, x koordinatlarının farkının mutlak değeridir. |x₂ - x₁|.
• Dikey Uzunluk: Aynı x koordinatına sahip iki nokta arasındaki uzaklık, y koordinatlarının farkının mutlak değeridir. |y₂ - y₁|.
• Dikdörtgenin Alanı: Kenar uzunlukları a ve b olan bir dikdörtgenin alanı a ⋅ b'dir. Koordinat sisteminde bu kenar uzunluklarını yukarıdaki yöntemlerle buluruz.
• Örnek: Köşeleri O(0,0), A(0, -6), K(-3, -6), C(-3, 0) olan dikdörtgenin alanı:
  • Yatay kenar uzunluğu (genişlik): |0 - (-3)| = 3 birim.
  • Dikey kenar uzunluğu (yükseklik): |0 - (-6)| = 6 birim.
  • Alan: 3 ⋅ 6 = 18 birimkare.
• 💡 İpucu: Birim kareli zeminlerde, birim karelerin kenar uzunluklarını doğru belirlemek, diğer noktaların koordinatlarını bulmada veya şekillerin boyutlarını hesaplamada anahtardır.

6. Koordinat Sisteminde Geometrik Şekiller

Koordinat sisteminde noktaları birleştirerek çeşitli geometrik şekiller oluşturabiliriz. Bu şekillerin özelliklerini kullanarak eksik bilgileri tamamlayabiliriz.

• Kare: Tüm kenar uzunlukları eşit ve iç açıları 90 derece olan dörtgendir. Köşegenleri birbirini dik ortalar.
• Dikdörtgen: Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve iç açıları 90 derece olan dörtgendir.
• Örnek (Kare Köşesi Bulma): Bir karenin üç köşesi A(-3, 2), B(2, 5), C(5, 0) ise D köşesini bulmak için:
  • AB ve BC kenarlarının uzunluklarını ve eğimlerini düşünerek, D noktasının x ve y koordinatlarını tahmin edebiliriz.
  • Genellikle, paralel kenarların x veya y koordinatları aynı kalır veya aynı miktarda artar/azalır. Örneğin, A'dan B'ye x'te 2 - (-3) = 5 birim, y'de 5 - 2 = 3 birim artış var. C'den D'ye de benzer bir ilişki olmalı. C'den B'ye x'te 2 - 5 = -3 birim, y'de 5 - 0 = 5 birim değişim var. A'dan D'ye de aynı değişim olmalı.
  • Bu durumda D noktasının koordinatları (0, -3) olacaktır. (A'dan C'ye x'te 8 birim artış, y'de 2 birim azalış var. B'den D'ye de aynı olmalı: x: 2-8 = -6, y: 5-2 = 3. Bu yöntem kare için doğru değil. Daha basit bir yol: A'dan B'ye x'te 5 birim sağa, y'de 3 birim yukarı. C'den D'ye de aynı olmalı. C(5,0) ise D(5+5, 0+3) = (10,3) olur. Bu da kare değil. Karenin köşegenleri birbirini ortalar veya vektör toplamı gibi düşünebiliriz: D = A + (C - B) veya D = C + (A - B).
    Daha basit bir mantık: Karşılıklı kenarlar paraleldir ve uzunlukları eşittir. A(-3,2), B(2,5), C(5,0).
    AB kenarının x'teki değişimi: 2 - (-3) = 5. y'deki değişimi: 5 - 2 = 3.
    BC kenarının x'teki değişimi: 5 - 2 = 3. y'deki değişimi: 0 - 5 = -5.
    Bir karede, bir kenardan diğerine geçişteki x ve y değişimleri yer değiştirip işaret değiştirebilir (diklikten dolayı).
    CD kenarı, AB kenarına paralel olmalı. Yani C'den D'ye giderken x ve y'deki değişim AB'deki değişimin tersi olmalı (veya AD'deki değişim BC'deki değişime eşit olmalı).
    AD kenarı, BC kenarına paralel olmalı. BC'deki değişim (+3, -5) idi. O zaman A'dan D'ye giderken de x'e +3, y'ye -5 eklemeliyiz.
    D_x = A_x + 3 = -3 + 3 = 0
    D_y = A_y - 5 = 2 - 5 = -3
    Yani D(0, -3). Bu örnekteki gibi bir mantıkla çözülür.
• Özdeş Dikdörtgenler: Eğer bir şekil özdeş dikdörtgenlerden oluşuyorsa, bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmak, diğer tüm dikdörtgenlerin ve dolayısıyla şeklin tamamının boyutlarını çözmek için yeterlidir. Bir noktanın koordinatlarını kullanarak bu kenar uzunluklarını belirlemek önemlidir.
• ⚠️ Dikkat: Geometrik şekillerin özelliklerini (paralellik, diklik, kenar uzunlukları eşitliği vb.) koordinat sistemine doğru bir şekilde yansıtmak, doğru çözüme ulaşmanın anahtarıdır.

Bu ders notları, "Koordinat Sistemi ve Sıralı İkililer" konusundaki temel bilgileri pekiştirmenize ve testteki soruları daha rahat çözmenize yardımcı olacaktır. Bol şans! ✨