🎓 8. sınıf Ebob ve Ekok Test 17 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf matematik müfredatının önemli konularından olan Asal Sayılar, Aralarında Asal Sayılar, En Küçük Ortak Kat (EKOK) ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramlarını kapsamaktadır. Özellikle aralarında asal sayılar ve EKOK'un günlük hayattaki ve problem çözmedeki uygulamalarına odaklanılmıştır. Sınav öncesi son tekrarınız için bu notlar size yol gösterecektir. 🚀

1. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma 🌟

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak, Ebob ve Ekok hesaplamalarının temelidir. Bir doğal sayı, 1'den büyük olup kendisinden ve 1'den başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemiyorsa bu sayıya asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2'dir.

• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya denir. Örneğin, \(72 = 2^3 \cdot 3^2\).

💡 İpucu: Büyük sayıların asal çarpanlarını bulurken, sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölme algoritmasını kullanmak en pratik yöntemdir.

2. Aralarında Asal Sayılar 🤝

İki veya daha fazla doğal sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir.

• Örnek: 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır. (8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8; 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15. Ortak bölen sadece 1'dir.)
• Örnek: 7 ve 70 sayıları aralarında asal değildir. (Ortak bölenleri 7'dir.)
• Ardışık doğal sayılar her zaman aralarında asaldır. (Örnek: 5 ile 6, 12 ile 13)
• 1 sayısı, her doğal sayı ile aralarında asaldır.
• İki sayının aralarında asal olması için ikisinin de asal olmasına gerek yoktur. (Örnek: 4 ve 9 aralarında asaldır.)
• İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için asal çarpanlarına bakılabilir. Ortak asal çarpanları yoksa aralarında asaldırlar. Örneğin, \(2^2 \cdot 3^4 \cdot 5\) sayısı ile \(3^2 \cdot 7 \cdot 13^2\) sayısı aralarında asal değildir çünkü ikisinde de 3 asal çarpanı bulunur.

⚠️ Dikkat: Kesir sadeleştirme problemlerinde, eğer iki ifade aralarında asal ise, kesir en sade halindedir ve pay ile payda direkt olarak birbirine eşitlenebilir. Örneğin, \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) ve C ile D aralarında asal ise, A'yı C'nin bir katı, B'yi D'nin bir katı olarak düşünebiliriz. Eğer A ile B de aralarında asalsa, A=C ve B=D olur.

3. En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🔄

İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçüğüne En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. Genellikle "birleşme", "buluşma", "aynı anda tekrar etme", "gruplama", "en az" gibi durumları içeren problemlerde kullanılır.

• EKOK Bulma Yöntemleri:
• Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar seçilerek çarpılır.
  Örnek: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\). EKOK(12, 18) = \(2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\).
• Bölme Algoritması Yöntemi: Sayılar yan yana yazılıp en küçük asal sayıdan başlanarak ortak bölenleri ve kalanları bölünür. Tüm bölenlerin çarpımı EKOK'u verir.
• EKOK Problem Tipleri:
• Aynı Anda Tekrar Eden Olaylar: Otobüs seferleri, nöbet tutma, zillerin çalması gibi belirli periyotlarla tekrarlayan olayların ne zaman tekrar aynı anda olacağını bulmak için EKOK kullanılır. Günlük hayattan örnek olarak, iki farklı otobüs hattının aynı duraktan belirli aralıklarla kalkıp ne zaman tekrar aynı anda kalkacağını bulmak verilebilir.
• Gruplama ve Kalan Problemleri: Belirli sayılarda gruplara ayrıldığında her seferinde aynı kalanın artması veya eksik kalması durumlarında, sayının EKOK'un katlarından belirli bir farkla bulunması gerekir.
  Örnek: "16'şar ve 22'şerli gruplara ayrıldığında sırasıyla 11 ve 17 öğrenci artıyor." Bu durumda, öğrenci sayısına 5 eklersek hem 16'ya hem de 22'ye tam bölünür (çünkü 16-11=5 ve 22-17=5). Yani öğrenci sayısı = EKOK(16, 22) - 5.
  Diğer bir örnek: "800 bilyeden en az kaç tanesi verilirse 21'li veya 35'li gruplara ayrılabilir?" Burada 800'den küçük, EKOK(21, 35)'in en büyük katı bulunur. EKOK(21, 35) = 105. 800'e en yakın 105'in katı 735'tir (105 x 7). Bu durumda 800 - 735 = 65 bilye verilmelidir.
• En Küçük Ortak Katı Verilen Ardışık Sayılar: Ardışık doğal sayılar her zaman aralarında asal olduğu için, ardışık doğal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin, EKOK(A, B) = A * B ise, A ve B ardışık sayılar olabilir.

⚠️ Dikkat: EKOK problemlerinde genellikle "en az", "ilk kez", "tekrar birlikte", "gruplama" gibi ifadeler kullanılır. Problemin çözümünde bulduğunuz EKOK değerinin, sorudaki diğer koşulları (örneğin, bir aralıkta olma veya belirli bir sayıya yakın olma) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmeyi unutmayın.

4. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🔍

İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. Genellikle "ayırma", "bölme", "parçalara ayırma", "eş parçalara bölme", "en büyük" gibi durumları içeren problemlerde kullanılır.

• EBOB Bulma Yöntemleri:
• Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar seçilerek çarpılır.
• Bölme Algoritması Yöntemi: Sayılar yan yana yazılıp en küçük asal sayıdan başlanarak ortak bölenleri ve kalanları bölünür. Her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir ve bu işaretli çarpanların çarpımı EBOB'u verir.
• EBOB ve Aralarında Asal İlişkisi: İki sayı aralarında asalsa, EBOB'ları 1'dir. Bu tanım, aralarında asal sayıların temelini oluşturur.

⚠️ Dikkat: EBOB problemlerinde genellikle "en büyük", "en geniş", "en uzun", "eşit parçalara ayırma" gibi ifadeler kullanılır.

5. Ebob ve Ekok Arasındaki İlişki ✨

İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Yani, \(A \cdot B = EBOB(A, B) \cdot EKOK(A, B)\).

• Bu ilişki özellikle EBOB veya EKOK'tan biri verildiğinde diğerini bulmak için kullanışlıdır.

6. Problem Çözme Stratejileri 🧠

• Soruyu dikkatlice oku ve ne istendiğini tam olarak anla. Anahtar kelimeleri (en az, en çok, aynı anda, gruplama, bölme, aralarında asal) belirle.
• Verilen bilgileri not al ve matematiksel ifadelerle yazmaya çalış.
• Hangi kavramın (EBOB, EKOK, Aralarında Asal) kullanılacağına karar ver. "Bütün parça" ilişkisi varsa EBOB, "parça bütün" ilişkisi varsa EKOK akla gelmelidir.
• Gerekirse küçük sayılarla deneme yaparak veya şekil çizerek problemi görselleştir. Bu, çözüm yolunu netleştirmene yardımcı olabilir.
• Çözüm adımlarını mantıklı bir sıraya koy ve her adımı dikkatlice kontrol et.
• Bulduğun sonucun sorudaki tüm koşulları (örneğin, rakamları farklı olma, belirli bir aralıkta olma) sağlayıp sağlamadığını kontrol et.