🎓 8. sınıf Ebob ve Ekok Test 6 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf matematik müfredatının önemli konularından olan En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) kavramlarını pekiştirmek amacıyla hazırlanmıştır. Testteki sorular, bu iki temel kavramın hesaplanması, özellikleri, aralarında asal sayılarla ilişkisi ve günlük hayat problemlerine uygulanması üzerine yoğunlaşmaktadır. Sınav öncesi son tekrarınızı yaparken bu notların size rehberlik etmesini umuyoruz! 🚀

1. Temel Kavramlar: Çarpanlar (Bölenler) ve Katlar

• Çarpan (Bölen): Bir sayıyı kalansız bölen her sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Örneğin, 12 sayısının çarpanları (bölenleri) 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. 🔢
• Kat: Bir sayının kendisiyle veya pozitif tam sayılarla çarpılması sonucu elde edilen sayılara o sayının katları denir. Örneğin, 5 sayısının katları 5, 10, 15, 20, ... şeklinde sonsuza kadar gider. ♾️

2. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

• Asal Sayı: 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2'dir. (Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, ...) ✨
• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya denir. Bu işlem için genellikle asal çarpanlar algoritması (bölen listesi) veya çarpan ağacı yöntemi kullanılır.
• Asal Çarpanlar Algoritması (Bölen Listesi): Sayı en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür. Bölüm tekrar bölünür, bu işlem 1 elde edilene kadar devam eder. Sağ taraftaki sayılar asal çarpanlardır.
• Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
  60 | 2
  30 | 2
  15 | 3
  5 | 5
  1 |
  Yani, \(60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\).

3. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🤝

İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. Diğer adı OKEB (Ortak Katların En Büyüğü) olarak da bilinir.

• EBOB Nasıl Bulunur?
  Asal Çarpanlar Algoritması ile: Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür. Her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir (genellikle bir yıldız veya nokta ile). İşaretlenen bu asal çarpanların çarpımı EBOB'u verir.
• Örnek: EBOB(24, 40) bulalım:
  24 40 | 2 ⭐
  12 20 | 2 ⭐
  6 10 | 2 ⭐
  3 5 | 3
  1 5 | 5
  1 |
  EBOB(24, 40) = \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\)
• EBOB'un Özellikleri:
• İki sayı birbirinin katı ise, EBOB küçük olan sayıdır. Örnek: EBOB(20, 40) = 20.
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. Örnek: EBOB(12, 13) = 1.
• EBOB, verilen sayılardan küçük veya eşit olmak zorundadır.
• Bir sayının tüm ortak bölenleri, EBOB'un bölenleridir.
• Günlük Hayat Uygulamaları (EBOB Problemleri): Genellikle büyük parçaların küçük ve eşit parçalara ayrılması, gruplama, poşetleme, fayans döşeme (en büyük boyutlarda), kumaş kesme gibi "bölme" veya "paylaştırma" durumlarında EBOB kullanılır. ✂️
• ⚠️ Dikkat: EBOB hesaplarken sadece her iki sayıyı da bölen asal çarpanları çarpmayı unutma!

4. En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🔄

İki veya daha fazla sayının pozitif ortak katları arasında en küçüğüne En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. Diğer adı OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) olarak da bilinir.

• EKOK Nasıl Bulunur?
  Asal Çarpanlar Algoritması ile: Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür. Tüm asal çarpanların (işaretli veya işaretsiz fark etmez) çarpımı EKOK'u verir.
• Örnek: EKOK(8, 10) bulalım:
  8 10 | 2
  4 5 | 2
  2 5 | 2
  1 5 | 5
  1 |
  EKOK(8, 10) = \(2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 = 8 \times 5 = 40\)
• EKOK'un Özellikleri:
• İki sayı birbirinin katı ise, EKOK büyük olan sayıdır. Örnek: EKOK(36, 72) = 72.
• Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Örnek: EKOK(5, 11) = \(5 \times 11 = 55\).
• EKOK, verilen sayılardan büyük veya eşit olmak zorundadır.
• Günlük Hayat Uygulamaları (EKOK Problemleri): Genellikle farklı zamanlarda gerçekleşen olayların ne zaman tekrar bir araya geleceği, otobüslerin aynı anda kalkması, nöbet tutan askerlerin tekrar birlikte nöbet tutması, zillerin aynı anda çalması, küçük parçalardan büyük bir bütün oluşturma (kare veya dikdörtgen oluşturma) gibi "birleştirme" veya "tekrar buluşma" durumlarında EKOK kullanılır. ⏰
• ⚠️ Dikkat: EKOK hesaplarken, algoritmadaki tüm asal çarpanları çarpmayı unutma!

5. EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki 🔗

İki pozitif tam sayının (A ve B) çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.

• \(A \times B = EBOB(A, B) \times EKOK(A, B)\)
• 💡 İpucu: Bu özellik, problem çözerken veya birini bilip diğerini bulmak istediğinde çok işine yarayabilir!

6. Aralarında Asal Sayılar 🤝

1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir.

• Örnek: 8 ve 15 sayıları asal değildir (8=2³, 15=3x5) ama aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir.
• Özellikleri:
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. (EBOB(A, B) = 1)
• Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. (EKOK(A, B) = \(A \times B\))
• Ardışık sayılar daima aralarında asaldır. Örnek: 12 ve 13.
• Ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır. Örnek: 15 ve 17.
• ⚠️ Dikkat: "Asal sayı" ile "aralarında asal sayı" kavramlarını karıştırma! Bir sayı asal olmayabilir ama başka bir sayıyla aralarında asal olabilir.

7. Ortak Bölenler ve Ortak Katlar Hakkında Ek Bilgiler ➕

• İki sayının tüm ortak bölenlerini bulmak için, önce EBOB'unu buluruz. EBOB'un bölenleri, bu iki sayının tüm ortak bölenleridir.
• İki sayının tüm ortak katlarını bulmak için, önce EKOK'unu buluruz. EKOK'un katları, bu iki sayının tüm ortak katlarıdır.

8. Problem Çözme İpuçları 🧐

• EBOB Problemleri: Soruda "eşit parçalara ayırma", "bölme", "gruplama", "en büyük ölçüde", "en az kap", "kare parseller", "fidan dikme" gibi ifadeler geçiyorsa genellikle EBOB kullanman gerekir. Çözüm, genellikle verilen sayıları küçültmeye yöneliktir.
• EKOK Problemleri: Soruda "birleştirme", "bir araya gelme", "tekrar karşılaşma", "aynı anda", "en küçük ortak kat", "en az sayıda", "kare oluşturma", "küp oluşturma" gibi ifadeler geçiyorsa genellikle EKOK kullanman gerekir. Çözüm, genellikle verilen sayıları büyütmeye yöneliktir.
• 💡 İpucu: Problemi dikkatlice oku ve ne istendiğini anla. Sayıları küçültmen mi gerekiyor (EBOB) yoksa büyültmen mi (EKOK)? Bu ayrım çoğu zaman doğru cevaba götürür.