Bu ders notu, birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliklerin ve eşitsizlik sistemlerinin koordinat düzleminde grafiksel gösterimini, verilen bir eşitsizliğin grafiğini çizmeyi ve grafiği verilen bir bölgenin eşitsizliğini yazmayı kapsar. Ayrıca, açık ve kapalı yarı düzlemler arasındaki farklar da detaylıca incelenmiştir. Bu bilgiler, sınavda karşılaşabileceğin benzer soruları çözmek için sağlam bir temel oluşturacaktır. 🚀

🎓 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Grafikleri

Genel formu $ax + by + c > 0$, $ax + by + c < 0$, $ax + by + c \ge 0$ veya $ax + by + c \le 0$ olan ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik denir. Bu eşitsizlikler, koordinat düzleminde bir doğru ile ikiye ayrılan bir bölgeyi (yarı düzlemi) temsil eder. 🗺️

Eşitsizliğin Grafiğini Çizme Adımları:

• 1. Sınır Doğrusunu Belirle: Verilen eşitsizliği önce bir eşitlik gibi düşünerek ($ax + by + c = 0$) sınır doğrusunun denklemini bul. Örneğin, $3x - 2y - 6 > 0$ eşitsizliği için sınır doğrusu $3x - 2y - 6 = 0$ olacaktır.
• 2. Eksenleri Kesen Noktaları Bul: Doğruyu çizmek için genellikle x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulmak en kolay yoldur.
  • x eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde $y=0$ yazılır.
  • y eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde $x=0$ yazılır.

  Örnek: $3x - 2y - 6 = 0$ doğrusu için:

  • $y=0$ ise $3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. x eksenini $(2,0)$ noktasında keser.
  • $x=0$ ise $-2y - 6 = 0 \Rightarrow -2y = 6 \Rightarrow y = -3$. y eksenini $(0,-3)$ noktasında keser.
• 3. Doğruyu Çiz: Bulduğun noktaları koordinat düzleminde işaretle ve birleştir.
• 4. Doğrunun Tipini Belirle (Kesik Çizgi mi, Düz Çizgi mi?):
  • Eşitsizlikte 'küçüktür' ($<$) veya 'büyüktür' ($>$) işaretleri varsa, sınır doğrusu çözüme dahil değildir. Bu durumda doğru kesik kesik (noktalı) çizilir. Bu bölgeye açık yarı düzlem denir. 🚫
  • Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' ($\le$) veya 'büyük veya eşit' ($\ge$) işaretleri varsa, sınır doğrusu çözüme dahildir. Bu durumda doğru düz (kesintisiz) çizilir. Bu bölgeye kapalı yarı düzlem denir. ✅

  Örnek: $3x - 2y - 6 > 0$ eşitsizliğinde '$>$' işareti olduğu için doğru kesik kesik çizilir.

  Örnek: $2x + y + 8 \le 0$ eşitsizliğinde '$\le$' işareti olduğu için doğru düz çizilir.
• 5. Taralı Bölgeyi Belirle (Test Noktası Yöntemi): Koordinat düzleminde, sınır doğrusu üzerinde olmayan herhangi bir noktayı (genellikle başlangıç noktası $O(0,0)$ en kolay test noktasıdır) seç. Bu noktanın koordinatlarını eşitsizlikte yerine yaz.
  • Eğer seçilen nokta eşitsizliği sağlıyorsa, o noktanın bulunduğu taraf taranır.
  • Eğer seçilen nokta eşitsizliği sağlamıyorsa, doğrunun diğer tarafı taranır.

  Örnek: $3x - 2y - 6 > 0$ eşitsizliği için test noktası $O(0,0)$ seçelim:

  • $3(0) - 2(0) - 6 > 0 \Rightarrow -6 > 0$. Bu ifade yanlıştır.
  • O halde, $O(0,0)$ noktasının bulunmadığı taraf taranır.

Grafiği Verilen Bölgeden Eşitsizliği Yazma Adımları:

• 1. Sınır Doğrusunun Denklemini Bul: Grafikte verilen doğrunun x ve y eksenlerini kestiği noktaları veya üzerindeki iki noktayı kullanarak doğrunun denklemini ($ax + by + c = 0$ şeklinde) bul.

  Örnek: x eksenini $(-3,0)$, y eksenini $(0,-1)$ noktasında kesen bir doğru için denklem $\frac{x}{-3} + \frac{y}{-1} = 1$ olur. Bu denklemi düzenlersek: $-x - 3y = 3 \Rightarrow x + 3y + 3 = 0$.

• 2. Eşitsizlik İşaretini Belirle:
  • Eğer doğru kesik kesik çizilmişse, eşitsizlik işareti '$<$' veya '$>$' olacaktır.
  • Eğer doğru düz çizilmişse, eşitsizlik işareti '$\le$' veya '$\ge$' olacaktır.

  Örnek: Doğru kesik kesik çizilmişse, eşitsizlik '$<$' veya '$>$' olacaktır.
• 3. Taralı Bölgeye Göre Yönü Belirle (Test Noktası Yöntemi): Taralı bölgenin içinde kalan, doğru üzerinde olmayan bir nokta seç (örneğin $O(0,0)$ eğer taralı bölgenin içindeyse). Bu noktanın koordinatlarını bulduğun doğru denkleminin sol tarafına ($ax+by+c$ kısmına) yaz. Elde ettiğin değer ile 0 arasındaki ilişkiyi (taralı bölgenin eşitsizliği sağlaması gerektiğini) kullanarak eşitsizlik yönünü belirle.

  Örnek: Yukarıdaki $x + 3y + 3 = 0$ doğrusu ve üst tarafı taranmış bölge için test noktası $O(0,0)$ seçelim. Denklemin sol tarafına $(0,0)$ yazarsak $0 + 3(0) + 3 = 3$ olur. Taralı bölge $(0,0)$'ı içerdiği için bu noktanın eşitsizliği sağlaması gerekir. Yani $3$ ifadesi, eşitsizliğin yönünü belirleyecek. $3 > 0$ olduğu için eşitsizlik $x + 3y + 3 > 0$ olur.

🧩 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Birden fazla eşitsizliğin bir arada bulunduğu durumlara eşitsizlik sistemi denir. Bu sistemlerin çözümü, her bir eşitsizliğin ayrı ayrı temsil ettiği yarı düzlemlerin kesişim bölgesidir. 🎯

Eşitsizlik Sisteminin Grafiğini Çizme Adımları:

• 1. Her Eşitsizliği Ayrı Ayrı Çiz: Sistemdeki her bir eşitsizliği yukarıda anlatılan adımları izleyerek koordinat düzleminde çiz. Her bir eşitsizliğin taralı bölgesini hafifçe veya farklı bir renkle belirle.
• 2. Kesişim Bölgesini Bul: Tüm eşitsizliklerin taralı bölgelerinin ortak olduğu alanı belirle. Bu ortak alan, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini oluşturan bölgedir. Bu bölgeyi daha belirgin bir şekilde tara.
• Örnek: Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin grafiğini çizelim:

  $x - y + 3 < 0$

  $x + y + 2 \ge 0$

  • Birinci eşitsizlik ($x - y + 3 < 0$):
    • Sınır doğrusu $x - y + 3 = 0$. x eksenini $(-3,0)$, y eksenini $(0,3)$ noktasında keser.
    • Eşitsizlik '$<$' olduğu için doğru kesik kesik çizilir.
    • Test noktası $O(0,0)$: $0 - 0 + 3 < 0 \Rightarrow 3 < 0$. Bu ifade yanlıştır. O halde $(0,0)$'ın bulunmadığı taraf (doğrunun üst tarafı) taranır.
  • İkinci eşitsizlik ($x + y + 2 \ge 0$):
    • Sınır doğrusu $x + y + 2 = 0$. x eksenini $(-2,0)$, y eksenini $(0,-2)$ noktasında keser.
    • Eşitsizlik '$\ge$' olduğu için doğru düz çizilir.
    • Test noktası $O(0,0)$: $0 + 0 + 2 \ge 0 \Rightarrow 2 \ge 0$. Bu ifade doğrudur. O halde $(0,0)$'ın bulunduğu taraf (doğrunun üst tarafı) taranır.
  • Her iki eşitsizliğin taralı bölgelerinin kesişimi olan alan, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. Bu bölge, iki doğrunun da üstünde kalan ve kesişen alandır.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gereken Kritik Noktalar ve İpuçları 💡

• Doğru Tipi: Eşitsizlik işaretine göre (kesik/düz) doğru çizimini asla karıştırma! Bu, açık ve kapalı yarı düzlemler arasındaki temel farktır. '$<$' ve '$>$' için kesik, '$\le$' ve '$\ge$' için düz çizgi kullanılır.
• Test Noktası Seçimi: Başlangıç noktası $O(0,0)$ genellikle en kolay test noktasıdır. Ancak sınır doğrusu $O(0,0)$ noktasından geçiyorsa, başka bir kolay nokta (örneğin $(1,0)$ veya $(0,1)$) seçmelisin.
• Eşitsizlik Yönü: Bir eşitsizliği çözerken veya düzenlerken (örneğin $y$ yalnız bırakılırken) negatif bir sayı ile çarpar veya bölersen, eşitsizlik yönünü değiştirmeyi unutma! Örneğin, $-2y > 4 \Rightarrow y < -2$.
• Dikey ve Yatay Doğrular:
  • $x > a$ veya $x < a$ şeklindeki eşitsizlikler, $x=a$ dikey doğrusunun sağını veya solunu tarar.
  • $y > b$ veya $y < b$ şeklindeki eşitsizlikler, $y=b$ yatay doğrusunun üstünü veya altını tarar.

  Günlük Hayat Örneği: Bir otobüs durağında beklerken, "x durağından sonraki duraklar" veya "y katının altındaki katlar" gibi ifadeler, aslında eşitsizlik bölgelerini tanımlar. 🚌

• Sistemlerde Kesişim: Eşitsizlik sistemlerinde çözüm, tüm eşitsizliklerin sağladığı ortak bölgedir. Her bir eşitsizliği ayrı ayrı doğru taradığından emin ol ve sonra bu taralı bölgelerin kesişimini bul. Bir bölge birden fazla eşitsizliğin şartını aynı anda sağlamalıdır.
• Denklemden Grafiğe, Grafikten Denkleme: Her iki yönde de pratik yapmak, bu konuyu tam olarak kavramanın anahtarıdır. Birinden diğerine geçiş becerisi, sınavda sana zaman kazandıracaktır. ✍️