🎓 8. Sınıf Doğrusal İlişkiler Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! 👋 Bu ders notu, "Doğrusal İlişkiler" konusundaki bilginizi pekiştirmek ve sınavlarda karşılaşabileceğiniz soru tiplerine hazırlanmak için tasarlandı. Bu testte yer alan sorular, doğrusal ilişkileri anlama, denklem kurma, problem çözme ve tablo/örüntü yorumlama becerilerinizi ölçüyor. Hazırsanız, konunun temel taşlarını birlikte inceleyelim!

🎯 Doğrusal İlişki Nedir?

• İki değişken arasındaki ilişkinin bir doğru grafiğiyle gösterilebildiği durumlara doğrusal ilişki denir.
• Genel denklemi $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; ax\; +\; b\}\backslash )$ veya $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; mx\; +\; n\}\backslash )$ şeklindedir.
• $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$: Bağımsız değişkendir. Değeri başka bir şeye bağlı değildir, biz belirleriz (örneğin, zaman, adım sayısı).
• $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$: Bağımlı değişkendir. Değeri $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$'e bağlı olarak değişir (örneğin, kalan miktar, toplam maliyet).
• $\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$ (veya $\backslash (\backslash mathbf\{m\}\backslash )$): Eğimdir. $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$ bir birim arttığında $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$'deki değişim miktarını (artış veya azalış) gösterir.
• $\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$ (veya $\backslash (\backslash mathbf\{n\}\backslash )$): Sabit terimdir (y-eksenini kestiği nokta). $\backslash (\backslash mathbf\{x\; =\; 0\}\backslash )$ olduğunda $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$'nin aldığı başlangıç değerini ifade eder.
• 💡 İpucu: Günlük hayatta açılış ücreti olan taksi yolculukları, sabit ücretli internet paketleri, birikim hesapları gibi birçok yerde doğrusal ilişkilere rastlarız.

🔢 Örüntülerden Doğrusal Denklem Kurma

• Şekil veya sayı örüntülerinde adım sayısı ($\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$) ile o adımdaki eleman sayısı/değeri ($\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$) arasında bir doğrusal ilişki bulunur.
• Adım 1: Değişim Miktarını (Eğim - $\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$) Bul: Her adımda eleman sayısı kaçar artıyor veya azalıyor? Bu sayı, denklemdeki $\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$ katsayısıdır.
• Adım 2: Sabit Terimi ($\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$) Bul: İlk terimden (genellikle $\backslash (\backslash mathbf\{x=1\}\backslash )$ için) yola çıkarak $\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$ değerini bulabilirsin. Örneğin, $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; ax\; +\; b\}\backslash )$ denkleminde $\backslash (\backslash mathbf\{x=1\}\backslash )$ ve $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$'nin ilk terim değerini yerine koyarak $\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$'yi çekebilirsin.
• Örnek: Bir örüntü 3, 5, 7, 9... şeklinde ilerliyorsa:
  • Her adımda 2 artıyor, yani $\backslash (\backslash mathbf\{a\; =\; 2\}\backslash )$.
  • İlk adımda ($\backslash (\backslash mathbf\{x=1\}\backslash )$) değer 3. Denklemi $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; 2x\; +\; b\}\backslash )$ olarak düşünelim. $\backslash (\backslash mathbf\{3\; =\; 2(1)\; +\; b\}\backslash )$ ise $\backslash (\backslash mathbf\{b\; =\; 1\}\backslash )$ olur.
  • Denklem: $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; 2x\; +\; 1\}\backslash )$.
• 💡 İpucu: Bazen $\backslash (\backslash mathbf\{x=0\}\backslash )$ (sıfırıncı adım) için değeri düşünmek $\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$'yi bulmanı kolaylaştırır.

📝 Problemlerden Doğrusal Denklem Oluşturma ve Yorumlama

• Problem metinlerini dikkatlice oku ve hangi değişkenin bağımsız ($\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$), hangisinin bağımlı ($\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$) olduğunu belirle. Genellikle zaman, adım sayısı, harcanan miktar $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$ olur.
• Başlangıç Değeri ($\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$): Problemin başında var olan sabit miktarı veya başlangıç durumunu ifade eder.
• Değişim Oranı (Eğim - $\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$): Her birim $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$ değiştiğinde $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$'deki artış veya azalış miktarıdır. Artış varsa $\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$ pozitif, azalış varsa $\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$ negatiftir.
• Örnek: 90 L benzinle dolu bir depo, her saat 5 L benzin harcıyor. Geçen süre $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$, kalan benzin $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$.
  • Başlangıç değeri: 90 L ($\backslash (\backslash mathbf\{b\; =\; 90\}\backslash )$).
  • Değişim oranı: Her saat 5 L azalıyor, yani $\backslash (\backslash mathbf\{a\; =\; -5\}\backslash )$.
  • Denklem: $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; 90\; -\; 5x\}\backslash )$.
• Sıralı İkili $\backslash (\backslash mathbf\{(x,\; y)\}\backslash )$: Bir denklemi sağlayan değer çiftleridir. İlk değer bağımsız değişkeni ($\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$), ikinci değer bağımlı değişkeni ($\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$) temsil eder.
• ⚠️ Dikkat: Birimlere çok dikkat et! Kuruş-TL, dakika-saat, ay-yıl gibi birim dönüşümleri gerekebilir. Yanlış birim kullanmak, yanlış sonuçlara yol açar.

📊 Tablolardan Doğrusal Denklem Bulma

• Verilen bir $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$ ve $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$ değerleri tablosundan doğrusal ilişki denklemini bulmak için şu adımları izle:
• Adım 1: Eğim ($\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$) Bul: $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$ değerleri arasındaki değişime karşılık $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$ değerleri arasındaki değişimi incele. Eğim $\backslash (\backslash mathbf\{a\; =\; \backslash frac\{y\_2\; -\; y\_1\}\{x\_2\; -\; x\_1\}\}\backslash )$ formülüyle bulunur.
• Adım 2: Sabit Terimi ($\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$) Bul:
  • Eğer tabloda $\backslash (\backslash mathbf\{x=0\}\backslash )$ değeri varsa, karşılık gelen $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$ değeri $\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$'dir.
  • Eğer $\backslash (\backslash mathbf\{x=0\}\backslash )$ yoksa, bulduğun $\backslash (\backslash mathbf\{a\}\backslash )$ değerini ve tablodaki herhangi bir $\backslash (\backslash mathbf\{(x,\; y)\}\backslash )$ ikilisini $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; ax\; +\; b\}\backslash )$ denkleminde yerine koyarak $\backslash (\backslash mathbf\{b\}\backslash )$'yi bulabilirsin.
• Örnek:

  x	-2	-1	0	1	2
  y	-9	-7	-5	-3	-1

  • $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$ 1 birim artarken $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$ 2 birim artıyor. Yani $\backslash (\backslash mathbf\{a\; =\; 2\}\backslash )$.
  • Tabloda $\backslash (\backslash mathbf\{x=0\}\backslash )$ iken $\backslash (\backslash mathbf\{y=-5\}\backslash )$. Yani $\backslash (\backslash mathbf\{b\; =\; -5\}\backslash )$.
  • Denklem: $\backslash (\backslash mathbf\{y\; =\; 2x\; -\; 5\}\backslash )$.

📈 Yüzde ve Oran Problemlerinde Denklem Kurma

• Yüzdeleri ondalık sayılara veya kesirlere dönüştürmek, denklem kurmayı kolaylaştırır (örn. %60 = 0.60 veya 60/100).
• "Bir şeyin %X'i" ifadesi, o şeyi $\backslash (\backslash mathbf\{X/100\}\backslash )$ ile çarpmak anlamına gelir.
• "Kütlesinin %60'ını kaybeden" demek, kütlesinin %40'ının kaldığı anlamına gelir. Bu durumda kalan miktarı bulmak için başlangıç miktarını $\backslash (\backslash mathbf\{0.40\}\backslash )$ ile çarparsın.
• Örnek: Üzüm kütlesinin %60'ını kaybediyor, kalanının yarısı satışa sunuluyor. Üzüm miktarı $\backslash (\backslash mathbf\{U\}\backslash )$, satışa sunulan $\backslash (\backslash mathbf\{S\}\backslash )$.
  • Kalan üzüm miktarı: $\backslash (\backslash mathbf\{U\; \backslash times\; (1\; -\; 0.60)\; =\; U\; \backslash times\; 0.40\}\backslash )$.
  • Satışa sunulan miktar: $\backslash (\backslash mathbf\{(U\; \backslash times\; 0.40)\; \backslash times\; 0.5\}\backslash )$.
  • Denklem: $\backslash (\backslash mathbf\{S\; =\; 0.5\; \backslash times\; 0.4\; \backslash times\; U\}\backslash )$ veya $\backslash (\backslash mathbf\{S\; =\; 0.2\; \backslash times\; U\}\backslash )$.
• 💡 İpucu: Karmaşık problemler için adımları tek tek yazarak ilerle. Her adımı bir ara denklem veya ifade olarak belirle.

✅ Genel İpuçları ve Hata Önleme

• Problemi dikkatlice oku ve verilen tüm bilgileri not al.
• Hangi değişkenin $\backslash (\backslash mathbf\{x\}\backslash )$, hangisinin $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$ olduğunu doğru belirle.
• Denklem kurduktan sonra, bulduğun denklemi problemdeki bazı değerlerle test et. Örneğin, $\backslash (\backslash mathbf\{x=1\}\backslash )$ için $\backslash (\backslash mathbf\{y\}\backslash )$ değerini hesapla ve problemdeki ilk adımla karşılaştır.
• Sıralı ikilileri yazarken her zaman $\backslash (\backslash mathbf\{(x,\; y)\}\backslash )$ sırasına dikkat et.
• Birim dönüşümlerini (kuruş-TL, yıl-ay, cm-mm vb.) asla unutma! Bu, sık yapılan bir hata kaynağıdır.
• Negatif eğim () azalan bir ilişkiyi, pozitif eğim ($\backslash (\backslash mathbf\{a\; >\; 0\}\backslash )$) artan bir ilişkiyi gösterir.

Bu notlarla doğrusal ilişkiler konusuna daha hakim olacağını ve testlerdeki başarı oranını artıracağını umuyoruz! Bol şans! 🍀