🎓 8. Sınıf Ondalık Gösterimlerin Karekökü Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf öğrencilerinin ondalık gösterimlerin karekökü konusuyla ilgili temel bilgileri pekiştirmesi, sıkça karşılaşılan soru tiplerini anlaması ve sınavlara etkili bir şekilde hazırlanması için özel olarak hazırlanmıştır. Testteki sorular, ondalık sayıların karekökünü alma, bu ifadelerle dört işlem yapma, denklemleri çözme, devirli ondalık sayıları kullanma ve gerçek hayat problemlerine uygulama becerilerini ölçmektedir. Haydi, bilgileri tazeleyelim! 🚀

Ondalık Gösterimlerin Karekökünü Alma 🔢

• Bir ondalık gösterimin karekökünü almak için en pratik yol, onu önce rasyonel sayı (kesir) olarak yazmaktır.
• Adım 1: Ondalık sayıyı kesir olarak yaz. Örneğin, $0,49 = \frac{49}{100}$ veya $0,16 = \frac{16}{100}$.
• Adım 2: Kesrin pay ve paydasının ayrı ayrı karekökünü al. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ kuralını uygula.
• Örnek: $\sqrt{0,49} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10} = 0,7$.
• Örnek: $\sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0,3$.
• ⚠️ Dikkat: Karekök dışına çıkan bir sayı her zaman pozitif olmalıdır. Örneğin, $\sqrt{0,04}$ ifadesinin sonucu $0,2$'dir, $-0,2$ değildir.

Kareköklü İfadelerde Dört İşlem ➕➖✖️➗

• Kareköklü ondalık ifadelerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yaparken, öncelikle her bir ondalık sayının karekökünü alarak onları rasyonel sayılara veya tam sayılara çevirmek işini kolaylaştırır.
• Toplama ve Çıkarma: Kareköklerini aldığın sayıları normal toplama veya çıkarma kurallarına göre işlem yap.
  • Örnek: $\sqrt{0,25} + \sqrt{0,01} = 0,5 + 0,1 = 0,6$.
• Çarpma: Kareköklerini aldığın sayıları çarp. Eğer kök içinde bırakman gereken bir ifade varsa, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ kuralını kullanabilirsin.
  • Örnek: $\sqrt{0,04} \cdot \sqrt{0,25} = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1$.
• Bölme: Kareköklerini aldığın sayıları böl. Eğer kök içinde bırakman gereken bir ifade varsa, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ kuralını kullanabilirsin.
  • Örnek: $\sqrt{0,81} \div \sqrt{0,09} = 0,9 \div 0,3 = 3$.

Devirli Ondalık Sayıların Karekökü 🔄

• Devirli ondalık sayıların karekökünü almadan önce, bu sayıları rasyonel sayı (kesir) haline getirmelisin.
• Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme Kuralı: $\frac{\text{Tüm sayı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0}}$.
• Örnek: $0,\overline{4} = \frac{4-0}{9} = \frac{4}{9}$.
• Şimdi karekökünü alabiliriz: $\sqrt{0,\overline{4}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
• 💡 İpucu: Bu kuralı uyguladıktan sonra elde ettiğin kesrin pay ve paydasının birer tam kare sayı olup olmadığını kontrol et.

Kareköklü Denklemler ve Rasyonel Sayılar ⚖️

• İçinde kareköklü ifadeler bulunan denklemleri çözerken amacımız bilinmeyeni yalnız bırakmaktır.
• Karekökten kurtulmak için denklemin her iki tarafının karesini alabiliriz. $( \sqrt{x} )^2 = x$.
• Örnek: $\sqrt{x} + \sqrt{0,09} = \sqrt{0,25}$ olsun.
  • Önce bilinen karekökleri al: $\sqrt{x} + 0,3 = 0,5$.
  • Denklemi çöz: $\sqrt{x} = 0,5 - 0,3 \Rightarrow \sqrt{x} = 0,2$.
  • Her iki tarafın karesini al: $(\sqrt{x})^2 = (0,2)^2 \Rightarrow x = 0,04$.
• Rasyonel Sayı ve Aralarında Asallık: Bir rasyonel sayı $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilir (b ≠ 0). $a$ ve $b$ aralarında asal ise, 1'den başka ortak bölenleri yoktur. Karekökten çıkan bir sayıyı en sade rasyonel biçimde yazmak, aralarında asal pay ve payda elde etmeni sağlar.

Bilimsel Gösterim ve Üslü Sayılarla Karekök 🔬

• Büyük veya küçük sayıları ifade etmek için bilimsel gösterim kullanılır. $a \times 10^n$ şeklinde yazılır, burada $1 \le |a| < 10$ ve $n$ bir tam sayıdır.
• Karekök alma işleminde üslü ifadelerle karşılaştığında, üssü 2'ye bölmeyi unutma. $\sqrt{10^{2n}} = 10^n$.
• Örnek: $\sqrt{1,69 \cdot 10^{-4}}$ ifadesini çözelim.
  • Sayıyı $\sqrt{169 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-4}} = \sqrt{169 \cdot 10^{-6}}$ olarak düşünebiliriz.
  • $\sqrt{169} \cdot \sqrt{10^{-6}} = 13 \cdot 10^{-6 \div 2} = 13 \cdot 10^{-3}$.
• 💡 İpucu: Ondalık sayılarda virgülü kaydırarak üssü ayarlamak, karekök almayı kolaylaştırır. Örneğin, $0,000169 = 169 \times 10^{-6}$.

Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökü (a√b Şeklinde Yazma) 🌱

• Bazı sayılar tam kare olmadıkları için karekök dışına tamamen çıkamazlar. Bu sayıları $a\sqrt{b}$ şeklinde yazarız.
• Bunu yapmak için, kök içindeki sayıyı bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarız. $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$.
• Örnek: $\sqrt{288}$ ifadesini $a\sqrt{b}$ şeklinde yazalım.
  • $288 = 144 \cdot 2$ (Burada 144 bir tam karedir.)
  • $\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
• ⚠️ Dikkat: Kök içindeki $b$ sayısının en küçük değerde kalması için, $A$ sayısını mümkün olan en büyük tam kare çarpan olarak seçmelisin.

Gerçek Hayat Problemleri ve Geometrik Uygulamalar 🌍📐

• Matematik sadece sayılarla değil, günlük hayatımızdaki durumları anlamak ve çözmek için de kullanılır.
• Problem metinlerini dikkatlice oku ve verilen bilgileri doğru bir şekilde matematiksel ifadelere dönüştür.
• Geometrik Alan Hesaplamaları:
  • Dikdörtgen Alanı: Uzun kenar $\times$ Kısa kenar.
  • Dik Üçgen Alanı: (Dik kenar 1 $\times$ Dik kenar 2) $\div$ 2.
• Birimlere Dikkat: İşlemleri yaparken birimlerin (km, m, sa, Kcal vb.) tutarlı olduğundan emin ol. Gerekirse birim çevirmeleri yap.
• 💡 İpucu: Problemi küçük parçalara ayırarak çözmek, karmaşık görünen durumları daha anlaşılır hale getirir. Her adımı dikkatlice kontrol etmeyi unutma!

Bu ders notları, ondalık gösterimlerin karekökü konusunda karşına çıkabilecek her türlü soruyu çözmek için sana sağlam bir temel sunar. Bol bol pratik yaparak ve bu ipuçlarını aklında tutarak başarıya ulaşabilirsin! Başarılar dilerim! ✨