Bu ders notu, 7. sınıf "Çember ve Daire" ünitesindeki temel kavramları, merkez açı ve yay ilişkisini, çemberin çevresini ve yay uzunluğunu kapsayan konuları pekiştirmeniz için hazırlanmıştır. Ayrıca günlük hayat uygulamaları ve problem çözme stratejileri de ele alınmıştır. 🚀

Çemberin Temel Elemanları

• Çember: Düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğriye çember denir. ⭕
• Merkez (O): Çember üzerindeki tüm noktalara eşit uzaklıkta olan sabit noktadır.
• Yarıçap (r): Çemberin merkezinden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklıktır. Genellikle 'r' ile gösterilir. 📏
• Çap (d): Çemberin merkezinden geçen ve çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. Çap, iki yarıçap uzunluğuna eşittir (d = 2r). ↔️

Çember Yayı ve Yay Ölçüsü

• Çember Yayı: Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan çember parçasına yay denir. Örneğin, AB yayı olarak gösterilir.
• Yay Ölçüsü: Bir yayın ölçüsü, o yayı gören merkez açının ölçüsüne eşittir. Birimi derecedir. 📐
• Tam Çember Yayı: Bir tam çemberin yay ölçüsü 360°'dir. 🔄
• Yarım Çember Yayı: Çapın ayırdığı yarım çember yayının ölçüsü 180°'dir.
• Çeyrek Çember Yayı: Çeyrek çember yayının ölçüsü 90°'dir.

Merkez Açı ve Yay İlişkisi

• Merkez Açı: Köşesi çemberin merkezi olan ve kolları çemberi kesen açıya merkez açı denir. 🎯
• Bir merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Bu, çember ve daire problemlerinin temelidir. Örneğin, m(AOB) merkez açısı AB yayını görüyorsa, m(AOB) = m(AB) olur.
• Çemberde, bir yayı gören merkez açının ölçüsü ile yayın ölçüsü birbirine eşittir. Bu bilgi, bilinmeyen açıları veya yayları bulmak için denklemler kurmada kullanılır. ✍️

Örnek: Bir merkez açı 75° ise, gördüğü yay da 75°'dir. Eğer bir yay 100° ise, onu gören merkez açı da 100°'dir.

Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

• Çemberin Çevresi (Uzunluğu): Bir çemberin çevresi, 2πr formülü ile bulunur. Burada 'r' yarıçapı, 'π' (pi) ise yaklaşık olarak 3,14 veya soruda belirtildiği gibi 3 olan sabit bir sayıdır. 📏
• Çap (d) cinsinden çevre formülü πd şeklindedir, çünkü d = 2r.
• Yay Uzunluğu: Bir çember yayının uzunluğu, çemberin çevresinin, yayın gördüğü merkez açının 360°'ye oranıyla çarpılmasıyla bulunur.
  Yay Uzunluğu = Çevre × (Merkez Açı / 360°)
  Yay Uzunluğu = 2πr × (Merkez Açı / 360°) 📐
• Örnek: Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde 100°'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmak için $2 \times \pi \times 6 \times (100/360)$ formülü kullanılır. Eğer π=3 alınırsa, $2 \times 3 \times 6 \times (100/360) = 36 \times (100/360) = 10$ cm olur.
• Özel Durumlar:
  Yarım çember yayı: Çevrenin yarısıdır (Merkez açı 180° olduğu için 180/360 = 1/2).
  Çeyrek çember yayı: Çevrenin dörtte biridir (Merkez açı 90° olduğu için 90/360 = 1/4).
  120°'lik yay: Çevrenin üçte biridir (120/360 = 1/3).
  60°'lik yay: Çevrenin altıda biridir (60/360 = 1/6).

Dairesel Şekillerde Açı Hesaplamaları

• Doğru Açı: Bir çap, çemberi iki yarım çembere ayırır ve her bir yarım çemberin merkez açısı 180°'dir. Bu, çap üzerindeki noktaların doğrusal olduğunu gösterir. ↔️
• Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan karşılıklı olanlara ters açılar denir ve ölçüleri birbirine eşittir. Çemberin merkezinde oluşan ters açılar da eşittir ve gördükleri yayların ölçüleri de eşittir. ✖️
• Eşit Parçalara Bölme: Bir çember veya daire eşit sayıda parçaya bölündüğünde, her bir parçanın merkez açısı 360°'nin parça sayısına bölünmesiyle bulunur. Örneğin, 4 eş parçaya ayrılan bir dairede her bir merkez açı 360°/4 = 90°'dir. 🍰
• Eşkenar Üçgen: Bir çemberin merkezinden çember üzerindeki iki noktaya çizilen yarıçaplar ve bu iki noktayı birleştiren kiriş bir üçgen oluşturur. Eğer bu üçgen eşkenar üçgen ise, tüm iç açıları 60°'dir. Bu durumda merkez açı da 60° olur. OBC üçgeni eşkenar ise m(BOC) = 60° olur.

Saat Problemleri

• Bir saat kadranı 360°'lik bir çemberdir. 🕰️
• Kadran 12 ana bölüme ayrılmıştır, bu nedenle her bir saat dilimi 360° / 12 = 30°'dir.
• Akrep (Saat İbresi): 12 saatte 360° döner, yani 1 saatte 30° döner. 1 dakikada ise 30° / 60 = 0.5° döner.
• Yelkovan (Dakika İbresi): 60 dakikada 360° döner, yani 1 dakikada 360° / 60 = 6° döner.
• Akrep ile yelkovan arasındaki açıyı bulmak için, her iki ibrenin de 12'den itibaren kaç derece döndüğünü hesaplayıp aralarındaki farkı almanız gerekir. Genellikle dar açı sorulur, bu yüzden sonuç 180°'den büyükse 360°'den çıkarılır.
• Örnek: Saat 5.30'da akrep ile yelkovan arasındaki açı:
  Yelkovan 30. dakikada, yani 6'nın üzerindedir. 12'den itibaren 30 × 6° = 180° dönmüştür.
  Akrep 5 ile 6 arasındadır. 5'ten sonra 30 dakika geçmiştir. Akrep 12'den itibaren 5 × 30° + 30 × 0.5° = 150° + 15° = 165° dönmüştür.
  Açı farkı: 180° - 165° = 15°.

⚠️ Kritik Noktalar ve İpuçları 💡

• ⚠️ Merkez Açı = Gördüğü Yay: Bu temel kuralı asla unutmayın! Çember sorularının büyük çoğunluğu bu bilgiyle çözülür.
• 💡 Tam Çember 360°: Bir çemberin etrafındaki tüm açıların toplamı 360°'dir. Yarım çember ise 180°'dir. Bu bilgiyi eksik açıları bulmak için kullanın.
• ⚠️ π (Pi) Değeri: Soruda π için özel bir değer (genellikle 3) verilmişse, mutlaka o değeri kullanın. Aksi takdirde π sembolünü bırakın.
• 💡 Yarıçaplar Eşittir: Çemberin merkezinden çember üzerindeki her noktaya çizilen uzaklık (yarıçap) eşittir. Bu, ikizkenar üçgenler oluşturabilir ve açı hesaplamalarında size yardımcı olabilir. OA = OB = r olduğu için OAB üçgeni ikizkenardır.
• ⚠️ Denklem Kurma: Bilinmeyen 'x' içeren ifadeler gördüğünüzde, verilen bilgilerle (örneğin, merkez açı = yay ölçüsü, tam çember 360°) bir denklem kurup 'x'i çözmeyi deneyin.
• 💡 Görseli İyi İncele: Şekillerdeki tüm noktaları, çizgileri ve verilen açıları dikkatlice okuyun. Bazen bir çap veya bir eşkenar üçgen gibi önemli ipuçları gözden kaçabilir.
• 💡 Saat Problemlerinde Dikkat: Akrep ve yelkovanın hareket hızları farklıdır. Akrep yavaş, yelkovan hızlı hareket eder. Her ikisinin de 12'den itibaren kaç derece döndüğünü ayrı ayrı hesaplamak en güvenli yoldur.