Merhaba Sevgili 8. Sınıf Öğrencileri! 👋

Bugünkü ders notumuzda, kareköklü ifadelerin gizemli dünyasına bir yolculuk yapacak ve özellikle tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi iki doğal sayı arasında olduğunu, hatta hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Bu konu, LGS'de karşınıza çıkabilecek önemli konulardan biri, o yüzden dikkatlice okuyalım! 🚀

1. Kareköklü İfadeler Nedir? Kısaca Hatırlayalım! 🧐

Karekök, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Yani, "Hangi sayıyı kendisiyle çarparsam bu sayıyı elde ederim?" sorusunun cevabıdır. Karekök sembolü $\sqrt{}$ ile gösterilir.

• Örneğin, $\sqrt{25}$ demek, hangi sayının karesi 25'tir demektir. Cevap: 5'tir, çünkü $5 \times 5 = 25$.
• $\sqrt{100} = 10$, çünkü $10 \times 10 = 100$.

Kareköklü ifadeler genellikle bir uzunluğu, alanı veya hacmi ifade ederken karşımıza çıkar. Mesela, alanı 36 birim kare olan bir karenin bir kenar uzunluğu $\sqrt{36} = 6$ birimdir. 📏

2. Tam Kare Sayılar ve Karekökleri ✨

Karekökü doğal sayı olan sayılara tam kare sayılar denir. Bunlar, bir doğal sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.

• $1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1$
• $2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2$
• $3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3$
• $4^2 = 16 \implies \sqrt{16} = 4$
• $5^2 = 25 \implies \sqrt{25} = 5$
• $6^2 = 36 \implies \sqrt{36} = 6$
• ... ve bu böyle devam eder.

Bu sayıları bilmek, tam kare olmayan sayıların kareköklerini tahmin etmede bize çok yardımcı olacak! 👍

3. Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerini Tahmin Etme: Hangi İki Doğal Sayı Arasında? 🤔

Peki ya karekökü doğal sayı olmayan bir ifadeyle karşılaşırsak ne yapacağız? Örneğin, $\sqrt{7}$ veya $\sqrt{20}$ gibi sayılar. Bu sayılar bir doğal sayıya eşit değildir, ancak hangi iki doğal sayı arasında olduklarını kolayca bulabiliriz.

Kural: Bir sayının karekökünün hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulmak için, o sayıdan küçük en büyük tam kare sayıyı ve o sayıdan büyük en küçük tam kare sayıyı buluruz.

Örnek 1: $\sqrt{7}$ hangi iki doğal sayı arasındadır?

• 7'den küçük en büyük tam kare sayı: 4 ($2^2$)
• 7'den büyük en küçük tam kare sayı: 9 ($3^2$)
• O halde, $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ olur.
• Yani, $2 < \sqrt{7} < 3$'tür. $\sqrt{7}$ sayısı 2 ile 3 arasındadır.

Örnek 2: $\sqrt{20}$ hangi iki doğal sayı arasındadır?

• 20'den küçük en büyük tam kare sayı: 16 ($4^2$)
• 20'den büyük en küçük tam kare sayı: 25 ($5^2$)
• O halde, $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$ olur.
• Yani, $4 < \sqrt{20} < 5$'tir. $\sqrt{20}$ sayısı 4 ile 5 arasındadır.

Bu yöntemle, tam kare olmayan bir sayının karekökünün yaklaşık değerini bir sayı doğrusu üzerinde nerede konumlandığını belirleyebiliriz. 🗺️

4. Karekök Değerine En Yakın Doğal Sayıyı Belirleme 🎯

Sadece hangi iki sayı arasında olduğunu bilmek bazen yeterli olmaz. Bazen, kareköklü ifadenin bu iki doğal sayıdan hangisine daha yakın olduğunu bulmamız gerekir. İşte bu, konunun biraz daha derinleştiği yer! 🤔

Kural: $\sqrt{N}$ ifadesinin $a$ ile $a+1$ arasında olduğunu bulduktan sonra, $N$ sayısının $a^2$ ve $(a+1)^2$ sayılarından hangisine daha yakın olduğuna bakarız. Hangi tam kare sayıya daha yakınsa, $\sqrt{N}$ de o tam kare sayının kareköküne (yani $a$ veya $a+1$'e) daha yakındır.

Bunu daha pratik hale getirmek için, orta nokta kuralını kullanabiliriz:

• $a$ ve $a+1$ arasındaki orta nokta $(a + 0.5)$'tir.
• Bu orta noktanın karesi $(a + 0.5)^2$'dir.
• Eğer $N$ sayısı $(a + 0.5)^2$'den küçükse, $\sqrt{N}$ sayısı $a$'ya daha yakındır.
• Eğer $N$ sayısı $(a + 0.5)^2$'den büyükse, $\sqrt{N}$ sayısı $a+1$'e daha yakındır.

Örnek 1: $\sqrt{8}$ hangi doğal sayıya daha yakındır?

• Önce hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulalım: $\sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9}$, yani $2 < \sqrt{8} < 3$.
• Şimdi 8'in 4'e mi yoksa 9'a mı daha yakın olduğuna bakalım:
  • 8 ile 4 arasındaki fark: $8 - 4 = 4$
  • 8 ile 9 arasındaki fark: $9 - 8 = 1$
• Gördüğümüz gibi, 8 sayısı 9'a daha yakındır (fark 1). O halde, $\sqrt{8}$ sayısı da $\sqrt{9} = 3$'e daha yakındır.
• Orta nokta kuralıyla kontrol edelim: $a=2$, $a+1=3$. Orta nokta $2.5$. $(2.5)^2 = 6.25$.
• $N=8$ sayısı $6.25$'ten büyük olduğu için, $\sqrt{8}$ sayısı $a+1=3$'e daha yakındır. ✅

Örnek 2: $\sqrt{17}$ hangi doğal sayıya daha yakındır?

• Önce hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulalım: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, yani $4 < \sqrt{17} < 5$.
• Şimdi 17'nin 16'ya mı yoksa 25'e mi daha yakın olduğuna bakalım:
  • 17 ile 16 arasındaki fark: $17 - 16 = 1$
  • 17 ile 25 arasındaki fark: $25 - 17 = 8$
• Gördüğümüz gibi, 17 sayısı 16'ya daha yakındır (fark 1). O halde, $\sqrt{17}$ sayısı da $\sqrt{16} = 4$'e daha yakındır.
• Orta nokta kuralıyla kontrol edelim: $a=4$, $a+1=5$. Orta nokta $4.5$. $(4.5)^2 = 20.25$.
• $N=17$ sayısı $20.25$'ten küçük olduğu için, $\sqrt{17}$ sayısı $a=4$'e daha yakındır. ✅

Bu beceri, günlük hayatta da işinize yarayabilir! Örneğin, bir nesnenin boyunu tahmin ederken veya bir mesafeyi ölçerken tam değerini bilmeseniz bile en yakın tam sayıya yuvarlama yapmanız gerekebilir. 🌳

5. Özet ve Önemli Kurallar 📝

Haydi öğrendiklerimizi kısaca özetleyelim:

• Bir kareköklü ifadenin hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulmak için, o sayıdan küçük en büyük tam kare sayıyı ve o sayıdan büyük en küçük tam kare sayıyı buluruz.
• Karekökün hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu bulmak için, karekök içindeki sayının, kendisinden küçük ve büyük olan tam kare sayılardan hangisine daha yakın olduğuna bakarız.
• Alternatif olarak, iki doğal sayının orta noktasının karesini alarak karşılaştırma yapabiliriz. Eğer karekök içindeki sayı orta noktanın karesinden küçükse, küçük doğal sayıya; büyükse, büyük doğal sayıya daha yakındır.
• Tam kare sayılar ($1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, ...$) bu konuda bize yol gösteren anahtarlardır. Bu sayıları iyi bilmek işinizi çok kolaylaştıracaktır! 🔑

Unutmayın, matematik sadece sayılarla oynamak değildir, aynı zamanda problem çözme becerilerinizi geliştirmektir. Bu konuda bol bol pratik yaparak uzmanlaşabilirsiniz! 💪 Başarılar dilerim! 😊