Soru Çözümü
- Miray Hanım'ın şifresi altı hanelidir ve her hanesindeki rakam sıfırdan farklıdır. Şifreyi $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6$ olarak gösterelim.
- İlk iki haneyi oluşturan sayının karekökü 3. hanedeki rakamdır: $\sqrt{d_1 d_2} = d_3$. $d_1 d_2$ iki basamaklı bir tam kare olmalı ve $d_3$ bir rakam olmalıdır. Olası $(d_1 d_2, d_3)$ çiftleri: $(16, 4)$, $(25, 5)$, $(36, 6)$, $(49, 7)$, $(64, 8)$, $(81, 9)$. Buradan $d_3 \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ olur.
- Son iki haneyi oluşturan sayının karekökü 4. hanedeki rakamdır: $\sqrt{d_5 d_6} = d_4$. Benzer şekilde, $d_5 d_6$ iki basamaklı bir tam kare olmalı ve $d_4$ bir rakam olmalıdır. Olası $(d_5 d_6, d_4)$ çiftleri: $(16, 4)$, $(25, 5)$, $(36, 6)$, $(49, 7)$, $(64, 8)$, $(81, 9)$. Buradan $d_4 \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ olur.
- Sorunun ek koşulu: 3. ve 4. hanenin oluşturduğu iki basamaklı sayının ($d_3 d_4$) karekökü bir asal sayıdır. Bu sayı bir tam kare olmalıdır. İki basamaklı tam kareler ve karekökleri:
- $16 \implies \sqrt{16} = 4$ (asal değil)
- $25 \implies \sqrt{25} = 5$ (asal)
- $36 \implies \sqrt{36} = 6$ (asal değil)
- $49 \implies \sqrt{49} = 7$ (asal)
- $64 \implies \sqrt{64} = 8$ (asal değil)
- $81 \implies \sqrt{81} = 9$ (asal değil)
- Olası $d_3 d_4$ sayıları $25$ veya $49$'dur.
- Eğer $d_3 d_4 = 25$ ise, $d_3 = 2$ ve $d_4 = 5$ olur. Ancak $d_3 \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ olmalıydı. Bu durum geçersizdir.
- Eğer $d_3 d_4 = 49$ ise, $d_3 = 4$ ve $d_4 = 9$ olur. Bu değerler $d_3 \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ve $d_4 \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ koşullarını sağlar.
- Buna göre, $d_3 = 4$ ve $d_4 = 9$'dur.
- $d_3 = 4$ olduğu için $\sqrt{d_1 d_2} = 4 \implies d_1 d_2 = 4^2 = 16$. Yani $d_1 = 1$ ve $d_2 = 6$.
- $d_4 = 9$ olduğu için $\sqrt{d_5 d_6} = 9 \implies d_5 d_6 = 9^2 = 81$. Yani $d_5 = 8$ ve $d_6 = 1$.
- Şifrenin rakamları $1, 6, 4, 9, 8, 1$'dir. Tüm rakamlar sıfırdan farklıdır.
- Şifrenin rakamları toplamı: $1 + 6 + 4 + 9 + 8 + 1 = 29$.
- Doğru Seçenek D'dır.