🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 10 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf rasyonel sayılar karma testindeki soruları temel alarak, rasyonel sayılarla ilgili tüm önemli konuları kapsar. Sınav öncesi son tekrarını yaparken veya konuları pekiştirirken bu notlardan faydalanabilirsin. Test, rasyonel sayılarla dört işlem, üslü ifadeler, ondalık gösterimler, ters elemanlar, işlem önceliği ve problem çözme becerilerini ölçmektedir. Haydi, rasyonel sayılar dünyasına dalalım! 🚀

Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

• Bir tam sayı ile sıfırdan farklı bir tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Genellikle `\(\frac{a}{b}\)` şeklinde gösterilir, burada 'a' tam sayı, 'b' sıfırdan farklı bir tam sayıdır.
• Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. (Örnek: `\(5 = \frac{5}{1}\)`)
• Ondalık sayılar da rasyonel sayıdır. (Örnek: `\(0.7 = \frac{7}{10}\)`)

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ➕➖✖️➗

Toplama ve Çıkarma İşlemleri

• Rasyonel sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.
• Paydalar eşit değilse, kesirleri genişleterek veya sadeleştirerek ortak bir paydada eşitlenir. Genellikle en küçük ortak kat (EKOK) tercih edilir.
• Paydalar eşitlendikten sonra, paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
• Örnek: `\(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\)`
• Örnek: `\(\frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4}\)`
• ⚠️ Dikkat: Tam sayılı kesirlerle işlem yaparken, önce onları bileşik kesre çevirmek işlem kolaylığı sağlar ve hata yapma riskini azaltır. (Örnek: `\(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)`)

Çarpma İşlemi

• Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken, paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
• Örnek: `\(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}\)`
• 💡 İpucu: Çarpma işleminden önce çapraz sadeleştirmeler yapmak, sayıları küçülterek işlemi çok daha kolay hale getirir.
• Örnek: `\(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{4}^1} \times \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}\)`
• Tam sayılı kesirleri çarparken yine önce bileşik kesre çevirmeyi unutma!

Bölme İşlemi

• Rasyonel sayılarda bölme işlemi yaparken, birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.
• Örnek: `\(\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}\)`
• 💡 İpucu: Bölme işlemini çarpmaya dönüştürdükten sonra, tıpkı çarpma işleminde olduğu gibi sadeleştirme yapabilirsin.

Rasyonel Sayılarla Üslü İfadeler 📈

• Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken, hem payın hem de paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır.
• Örnek: `\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)`
• Örnek: `\((\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\)`
• ⚠️ Dikkat: Negatif rasyonel sayıların kuvvetlerini alırken işaret kurallarına dikkat et!
  • Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir. (Örnek: `\((-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\)`)
  • Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatiftir. (Örnek: `\((-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}\)`)

Ondalık Gösterimler ve Rasyonel Sayılar ↔️

• Ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirirken, sayıyı virgülsüz olarak paya yazarız. Paydaya ise virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren 10'un kuvvetini yazarız.
• Örnek: `\(0.3 = \frac{3}{10}\)`, `\(0.15 = \frac{15}{100}\)`, `\(1.25 = \frac{125}{100}\)`
• Ondalık sayılarla bölme işlemi yaparken, virgülden kurtulmak için hem payı hem paydayı 10'un uygun kuvvetiyle çarpabilir veya sayıları kesre çevirip bölme işlemi yapabiliriz.
• Örnek: `\(\frac{0.6}{0.03} = \frac{0.6 \times 100}{0.03 \times 100} = \frac{60}{3} = 20\)`

İşlem Önceliği 🚦

• Birden fazla işlem içeren ifadelerde doğru sonuca ulaşmak için belirli bir sıra takip edilir:
• Parantezler (En içteki parantezden başlanır.)
• Üslü İfadeler
• Çarpma ve Bölme (Soldan sağa doğru hangi işlem önce geliyorsa o yapılır.)
• Toplama ve Çıkarma (Soldan sağa doğru hangi işlem önce geliyorsa o yapılır.)
• 💡 İpucu: "PÜÇT" veya "PÜÇET" (Parantez, Üs, Çarpma/Bölme, Toplama/Çıkarma) kısaltmasını aklında tutabilirsin.

Rasyonel Sayılarda Ters Elemanlar 🔄

• Toplama İşlemine Göre Tersi: Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaret değiştirmiş halidir. Bir sayı ile toplama işlemine göre tersi toplandığında sonuç sıfır olur.
• Örnek: `\(\frac{2}{3}\)`'ün toplama işlemine göre tersi `\(-\frac{2}{3}\)`'tür. (`\(\frac{2}{3} + (-\frac{2}{3}) = 0\)`).
• Çarpma İşlemine Göre Tersi: Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayının pay ve paydasının yer değiştirmesidir. Bir sayı ile çarpma işlemine göre tersi çarpıldığında sonuç 1 olur.
• Örnek: `\(\frac{2}{3}\)`'ün çarpma işlemine göre tersi `\(\frac{3}{2}\)`'tür. (`\(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1\)`).
• ⚠️ Dikkat: Sıfırın çarpma işlemine göre tersi yoktur. Tam sayılı kesirlerin çarpma işlemine göre tersini almadan önce bileşik kesre çevirmelisin.

Rasyonel Sayılarla Problem Çözme 🧩

• Rasyonel sayılarla ilgili problemler genellikle bir bütünün belirli bir kesrini bulma, kalan üzerinden işlem yapma veya denklemler kurma şeklinde karşımıza çıkar.
• Bütünün bir kesrini bulma: Bütünü kesirle çarparız. (Örnek: 60 elmanın `\(\frac{1}{4}\)`'ü `\(60 \times \frac{1}{4} = 15\)` elmadır.)
• Kalan üzerinden işlem yapma: Bir miktar elmanın `\(\frac{1}{4}\)`'ü satıldıysa, geriye `\(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)`'ü kalır. Sonraki işlemler bu kalan üzerinden yapılır.
• Denklem kurma: Bilinmeyene bir harf (genellikle 'x') vererek problemi matematiksel bir ifadeye dönüştürürüz.
• Örnek: "Bir sayının `\(3\frac{1}{4}\)` katı ile `\(\frac{2}{3}\)`'sinin toplamı 141'dir." problemi için:
  • Sayıya 'x' dersek, `\(3\frac{1}{4}x + \frac{2}{3}x = 141\)` denklemini kurarız.
  • `\(3\frac{1}{4}\)`'ü bileşik kesre çevir: `\(\frac{13}{4}x + \frac{2}{3}x = 141\)`
  • Paydaları eşitleriz: `\(\frac{39}{12}x + \frac{8}{12}x = 141\)`
  • `\(\frac{47}{12}x = 141\)`
  • `\(x = 141 \times \frac{12}{47}\)`
  • `\(x = 3 \times 12 = 36\)`
• 💡 İpucu: Problemleri dikkatlice oku, verilenleri ve istenenleri belirle. Gerekirse şekil çizmek veya küçük sayılarla deneme yapmak çözüm yolunu bulmana yardımcı olabilir.

Karmaşık ve Merdivenli İşlemler 🪜

• Bu tür işlemlerde, işlem önceliği kurallarına uyarak en alttan veya en içteki parantezden başlayarak adım adım ilerlenir.
• Örnek: `\(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}\)` işlemini çözerken:
  • Önce en alttaki `\(1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)` işlemini yaparız.
  • Sonra ifade `\(1 + \frac{1}{\frac{3}{2}}\)` haline gelir.
  • `\(\frac{1}{\frac{3}{2}}\)` demek `\(1 \div \frac{3}{2}\)` demektir, yani `\(1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)`.
  • Son olarak `\(1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\)` bulunur.
• ⚠️ Dikkat: Her adımı dikkatlice ve işlem önceliğine göre yapmak, bu tür sorularda hata yapmanı engeller. Acele etme!

Bu ders notları, rasyonel sayılar konusundaki temel bilgileri ve problem çözme yaklaşımlarını özetlemektedir. Bol bol pratik yaparak ve farklı soru tipleri çözerek bu konudaki becerilerini geliştirebilirsin. Başarılar dilerim! ✨