🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 9 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, rasyonel sayılarla ilgili temel kavramları, dört işlemi, işlem özelliklerini, üslü ifadeleri ve günlük hayatta karşılaşılan problemleri kapsayan kapsamlı bir tekrar sunmaktadır. Sınav öncesi son tekrarınız için harika bir kaynak olacak!

Rasyonel Sayılar ve Temel Kavramlar

• Rasyonel Sayı Nedir? 💡 İpucu: $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen tüm sayılara rasyonel sayı denir. Örneğin, $\frac{3}{4}$, $-\frac{1}{2}$, $5$ (çünkü $\frac{5}{1}$ olarak yazılabilir) birer rasyonel sayıdır.
• Sayı Doğrusunda Gösterme: İki tam sayı arasını eşit parçalara bölerek rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterebiliriz. Örneğin, $-7$ ile $-6$ arasını 6 eşit parçaya böldüğümüzde, her bir parça $\frac{1}{6}$'lık bir uzunluğu temsil eder.
• Tam Sayılı ve Bileşik Kesirler: Tam sayılı kesirleri (örneğin $3\frac{1}{3}$) bileşik kesre çevirme veya tam tersi işlemleri yapabilmek önemlidir. $3\frac{1}{3} = \frac{(3 \times 3) + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Rasyonel Sayılarla Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma İşlemleri ➕➖

• Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma yaparken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, ortak bir paydada eşitlemek için kesirleri genişletiriz.
• Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
• Örnek: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
• ⚠️ Dikkat: İşaretlere çok dikkat edin! Özellikle çıkarma işlemlerinde eksi işaretinin dağıtılması unutulmamalıdır.

Çarpma İşlemi ✖️

• Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
• Örnek: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• 💡 İpucu: Çarpma işlemine başlamadan önce sadeleştirme yapmak, işlemleri kolaylaştırır ve hata yapma olasılığını azaltır.

Bölme İşlemi ➗

• Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
• Örnek: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2$
• ⚠️ Dikkat: İkinci kesri ters çevirmeyi unutmayın!

Rasyonel Sayılarla Üslü İfadeler

• Bir rasyonel sayının üssü alınırken, hem payın hem de paydanın üssü alınır.
• Örnek: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$
• Negatif rasyonel sayıların üssü alınırken işaretine dikkat edilmelidir. Parantez içindeki negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif olur.
• Örnek: $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ ama $-\frac{1^2}{3^2} = -\frac{1}{9}$ (parantez yoksa sadece payın üssü alınır).

Rasyonel Sayılarda İşlem Önceliği

• İşlemler her zaman belirli bir sıraya göre yapılır:
  1. Parantez içindeki işlemler
  2. Üslü ifadeler
  3. Çarpma veya Bölme (Soldan sağa doğru)
  4. Toplama veya Çıkarma (Soldan sağa doğru)
• Karmaşık kesirli ifadelerde, ana kesir çizgisinin üstü ve altı ayrı birer parantez gibi düşünülerek işlem yapılır.

Rasyonel Sayılarda İşlem Özellikleri

• Değişme Özelliği: Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez.
  • Toplama: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$
  • Çarpma: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$
• Birleşme Özelliği: Toplama ve çarpma işlemlerinde üç veya daha fazla sayı toplanırken/çarpılırken, hangi ikisinin önce işleme alındığı önemli değildir.
  • Toplama: $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$
  • Çarpma: $(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}) \times \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \times (\frac{c}{d} \times \frac{e}{f})$
• Etkisiz (Birim) Eleman:
  • Toplama işleminde etkisiz eleman $0$'dır. ($\frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}$)
  • Çarpma işleminde etkisiz eleman $1$'dir. ($\frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}$)
• Yutan Eleman:
  • Çarpma işleminde yutan eleman $0$'dır. ($\frac{a}{b} \times 0 = 0$)
• Ters Eleman:
  • Toplama işlemine göre tersi: Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretinin değiştirilmiş halidir. Örneğin, $\frac{1}{2}$'nin toplama işlemine göre tersi $-\frac{1}{2}$'dir. ($\frac{a}{b} + (-\frac{a}{b}) = 0$)
  • Çarpma işlemine göre tersi: Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayının pay ve paydasının yer değiştirmesiyle bulunur. Örneğin, $\frac{A}{B}$'nin çarpma işlemine göre tersi $\frac{B}{A}$'dır. ($\frac{A}{B} \times \frac{B}{A} = 1$)
  • 💡 İpucu: Bir sayıyı çarpma işlemine göre tersine bölmek, o sayıyı kendisiyle çarpmak demektir. Yani $\frac{A}{B} \div \frac{B}{A} = \frac{A}{B} \times \frac{A}{B} = (\frac{A}{B})^2 = \frac{A^2}{B^2}$.
  • ⚠️ Dikkat: $0$'ın çarpma işlemine göre tersi yoktur.

Rasyonel Sayılarla Problem Çözme 🧠

• Bir Bütünün Kesir Kadarını Bulma: Bir sayının (bütünün) kesir kadarını bulmak için sayıyı kesirle çarparız.
  • Örnek: $90$ çiçeğin $\frac{2}{3}$'ü gül ise, $90 \times \frac{2}{3} = 60$ gül vardır.
• Kesrin Kesir Kadarını Bulma: Bir kesrin başka bir kesir kadarını bulmak için iki kesri birbiriyle çarparız.
  • Örnek: Güllerin $\frac{2}{5}$'i kırmızı ise, $60 \times \frac{2}{5} = 24$ kırmızı gül vardır.
• Bütünü Bulma: Kesir kadarı verilen bir sayının tamamını bulmak için verilen sayıyı kesrin tersiyle çarparız veya denklem kurarız.
  • Örnek: Bir sayının $\frac{3}{5}$'i ile kendisinin toplamı $24$ ise, sayı $x$ olsun. $x + \frac{3}{5}x = 24 \Rightarrow \frac{8}{5}x = 24 \Rightarrow x = 24 \times \frac{5}{8} = 15$.
• Kalanlı Problemler: Bir bütünün bir kısmı kullanıldıktan sonra kalanı üzerinden işlem yapılıyorsa, kalan miktarı bulup onun üzerinden devam etmek önemlidir.
  • Örnek: Bir kitabın $\frac{1}{4}$'ü okundu, sonra $\frac{5}{12}$'si daha okundu. Toplam okunan kısım $\frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$'üdür. Geriye kalan kısım $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$'tür. Eğer bu $\frac{1}{3}$'lük kısım $40$ sayfaya eşitse, kitabın tamamı $40 \times 3 = 120$ sayfadır.
• Geometri ile İlişkili Problemler: Çemberin çevresi gibi geometrik formüller rasyonel sayılarla birleştirilebilir.
  • Çemberin Çevresi: $2 \times \pi \times r$ formülüyle bulunur. ($\pi$ genellikle $3$ olarak alınabilir.)
  • Bir tekerleğin bir tam turda aldığı yol, çevresi kadardır. Toplam yol, tekerleğin çevresine bölünerek atılan tam tur sayısı bulunur.
• Eşitsizlik Problemleri: Bir rasyonel sayının belirli bir aralıkta olduğu durumlarda, paydaları eşitleyerek veya ondalık gösterime çevirerek karşılaştırma yapabiliriz.

Bu notlar, rasyonel sayılar konusundaki bilgilerinizi pekiştirmenize ve testteki soruları daha rahat çözmenize yardımcı olacaktır. Bol şans! 🚀