🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf "Rasyonel Sayılar" ünitesinin temel kavramlarını, dört işlem becerilerini, üslü ifadeleri, denklem çözme yöntemlerini ve problem çözme yaklaşımlarını kapsar. Sınavda karşılaşabileceğin çeşitli soru tiplerine yönelik önemli hatırlatmalar ve pratik bilgiler içerir. Bu notları dikkatlice okuyarak rasyonel sayılar konusundaki bilgilerini pekiştirebilir ve olası hatalardan kaçınabilirsin.

1. Rasyonel Sayıları Tanıma ve Gösterme 🔢

• Rasyonel sayılar, a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Kesirler, ondalık sayılar ve tam sayılar rasyonel sayıdır.
• Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme: Ondalık sayının virgülden sonraki basamak sayısına göre paydaya 10, 100, 1000... yazılır. Örneğin, 0,7 = $\frac{7}{10}$; 1,25 = $\frac{125}{100}$.
• Şekillerle Rasyonel Sayı Gösterimi: Bir bütünün eş parçalara ayrılması ve bu parçalardan bir kısmının boyanmasıyla rasyonel sayılar görselleştirilebilir. Boyalı kısım payı, toplam eş parça sayısı paydayı temsil eder.

⚠️ Dikkat: Ondalık sayıyı kesre çevirdikten sonra en sade haline getirmeyi unutma! Örneğin, 1,2 = $\frac{12}{10}$ = $\frac{6}{5}$.

2. Rasyonel Sayılarla Dört İşlem ➕➖✖️➗

• Toplama ve Çıkarma: Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, kesirler en küçük ortak kata (EKOK) eşitlenecek şekilde genişletilir veya sadeleştirilir. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır. Örnek: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Tam sayılı kesirleri toplarken veya çıkarırken, istersen tam kısımları kendi arasında, kesir kısımlarını kendi arasında toplayıp çıkarabilirsin. Ya da tüm tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirip işlem yapabilirsin.
• Çarpma: Paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. Çarpmadan önce sadeleştirme yapmak, işlemleri kolaylaştırır. Örnek: $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{2\cdot 9}{3\cdot 4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$ (Sadeleştirme ile daha kolay: $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$).
• Bölme: Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır. Örnek: $\frac{1}{2}÷\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

💡 İpucu: Negatif rasyonel sayılarla işlem yaparken tam sayılardaki işaret kurallarını (eksi ile eksinin çarpımı artı, vb.) unutma! Özellikle toplama ve çıkarmada, işaretlere dikkat et.

3. Rasyonel Sayıların Kuvvetleri (Üslü İfadeler) 🚀

• Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken, hem payın hem de paydanın kuvveti alınır.
• Örnek: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$.
• Negatif bir rasyonel sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
• Örnek: ${(-\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{4}$, ${(-\frac{1}{2})}^3=-\frac{1}{8}$.

⚠️ Dikkat: Negatif işaretin parantezin içinde mi dışında mı olduğuna çok dikkat et! $-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=-\frac{1}{4}$ iken, ${(-\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{4}$ olur.

4. Rasyonel Sayılarla İşlem Önceliği 🎯

• Matematikte işlemler belirli bir sıraya göre yapılır: 1. Parantez içindeki işlemler, 2. Üslü İfadeler, 3. Çarpma veya Bölme (Soldan sağa doğru), 4. Toplama veya Çıkarma (Soldan sağa doğru).
• Kesir çizgisi de bir parantez görevi görür. Kesir çizgisinin üstündeki ve altındaki işlemler birbirinden bağımsız olarak önce yapılır.

💡 İpucu: Çok adımlı işlemlerde her adımı dikkatlice yazmak, hata yapma olasılığını azaltır. Adım adım ilerle!

5. Rasyonel Sayılarla Denklem Çözme ⚖️

• Bilinmeyeni içeren rasyonel denklemleri çözerken, amacımız bilinmeyeni (genellikle 'x' veya 'A') yalnız bırakmaktır.
• Eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi uygulamak (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) denklemin dengesini bozmaz.
• Örnek: $x+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}\Rightarrow x=\frac{1}{4}$.
• Çok adımlı denklemlerde, bilinmeyeni içeren terimi bir tarafta toplayıp diğer terimleri karşı tarafa atarak çözüme ulaşılır.

⚠️ Dikkat: Eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçen terimlerin işaretleri değişir!

6. Rasyonel Sayıları Sıralama ve Karşılaştırma (Eşitsizlikler) ↔️

• Rasyonel sayıları sıralarken veya karşılaştırırken: Paydalar eşitse, payı büyük olan daha büyüktür. Paylar eşitse, pozitif kesirlerde paydası küçük olan daha büyüktür. Negatif kesirlerde ise paydası küçük olan (mutlak değerce büyük olan) daha küçüktür. Paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenerek karşılaştırma yapılır. Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür.
• Eşitsizliklerde bilinmeyen içeren ifadeler varken, tam sayı değerlerini bulmak için eşitsizliği çözmek gerekir.
• Örnek: $\frac{A-12}{8}>\frac{3}{2}$ gibi ifadelerde, önce paydaları eşitleyip sonra payları karşılaştırarak A'nın alabileceği değer aralığını bulabilirsin.

💡 İpucu: Negatif rasyonel sayıları sıralarken pozitif gibi düşünüp sırala, sonra sıralamayı ters çevir. Örneğin, $-\frac{1}{2}$ ve $-\frac{1}{3}$ için, $\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$ olduğundan, $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}$ olur.

7. Rasyonel Sayılarla Problemler 🧩

• Kesir problemleri genellikle bir bütünün belirli bir kesrini bulma, kalanın kesrini bulma veya tamamını bulma üzerine kuruludur.
• Bir sayının kesir kadarını bulma: Sayıyı kesirle çarp. Örnek: 60'ın $\frac{2}{3}$'ü = $60\cdot \frac{2}{3}=40$.
• Kesri verilen sayının tamamını bulma: Sayıyı kesrin tersiyle çarp (veya sayıya kesre böl). Örnek: $\frac{2}{3}$'ü 16 olan sayı = $16÷\frac{2}{3}=16\cdot \frac{3}{2}=24$.
• Kalanın kesrini bulma: Önce ilk kesir kadarını bul, sonra kalanı hesapla ve kalanın kesrini al. Ya da bütünden kullanılan kesirleri çıkarıp kalan kesri bul, sonra bu kesri bütünle çarp.
• Günlük hayattan örnekler: Bir pastanın dilimleri, bir yolun gidilen kısmı, bir depodaki ürünlerin dağılımı gibi senaryolarla karşılaşabilirsin.

⚠️ Dikkat: "Kalanın" ifadesine çok dikkat et! Bu, işlemin sırasını ve hangi miktardan kesir alınacağını belirler.

8. Rasyonel Sayıların Özellikleri ✨

• Değişme Özelliği: Toplama ve çarpmada sayıların yeri değişse de sonuç değişmez. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$.
• Birleşme Özelliği: Toplama ve çarpmada üç veya daha fazla sayı toplanırken/çarpılırken, hangi ikisinin önce işleme alındığı sonucu değiştirmez. $(a+b)+c=a+(b+c)$.
• Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
• Etkisiz Eleman: Toplamada 0, çarpmada 1 etkisiz elemandır.
• Ters Eleman: Toplamada bir sayının tersi işaretlisidir ($a+(-a)=0$). Çarpmada bir sayının tersi çarpmaya göre tersidir ($a\cdot \frac{1}{a}=1$).

Bu ders notları, rasyonel sayılar ünitesindeki temel becerilerini geliştirmene yardımcı olacaktır. Bol bol pratik yapmayı ve farklı soru tipleri çözmeyi unutma! Başarılar dilerim! 🌟