🎓 7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 3 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, rasyonel sayılarla ilgili temel kavramları, sıralama yöntemlerini, ondalık gösterimleri ve dört işlem becerilerini pekiştirmen için hazırlandı. Ayrıca rasyonel sayılarla ilgili problem çözme stratejileri ve sık yapılan hatalara karşı önemli ipuçları da içeriyor. Bu notları dikkatlice okuyarak sınavına hazır bir şekilde girebilirsin! 💪

1. Rasyonel Sayılar Nedir? 🤔

• a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
• Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin, 5 sayısı \( \frac{5}{1} \) olarak yazılabilir.
• Sayı doğrusunda iki tam sayı arasını eşit parçalara bölerek rasyonel sayıları gösterebiliriz. Örneğin, \( \frac{1}{2} \) sayısı 0 ile 1'in tam ortasındadır.

⚠️ Dikkat: Paydası sıfır olan bir rasyonel sayı tanımlanamaz. Bir sayıyı sıfıra bölemezsin! 🚫

2. Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama ↔️

• Paydaları Eşit Rasyonel Sayılar: Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise payı küçük olan (sayı değeri olarak daha büyük olan) daha büyüktür.
• Payları Eşit Rasyonel Sayılar: Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise paydası büyük olan (sayı değeri olarak daha küçük olan) daha büyüktür.
• Hem Pay Hem Payda Farklıysa: Genellikle paydaları eşitlemek en kolay yöntemdir. Ortak bir paydada buluşturarak sıralama yapabiliriz.
• Negatif Rasyonel Sayılar: Negatif rasyonel sayıları sıralarken önce pozitif gibi düşünüp sırala, sonra sıralamayı ters çevir. Sayı doğrusunda sola doğru gidildikçe sayılar küçülür.

💡 İpucu: Negatif rasyonel sayılar, pozitif rasyonel sayılardan her zaman küçüktür. Sıfır, tüm negatif rasyonel sayılardan büyük, tüm pozitif rasyonel sayılardan küçüktür. 📉

3. Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Çevirme 🔄

• Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirmek için payı paydaya böleriz.
• Sonlu Ondalık Gösterimler: Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti yapılabilen rasyonel sayılar sonlu ondalık gösterime sahiptir. Örneğin, \( \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75 \).
• Devirli Ondalık Gösterimler: Paydası 10'un kuvveti yapılamayan bazı rasyonel sayılar bölme işlemi sonucunda tekrar eden basamaklar oluşturur. Bu tür ondalık gösterimlere devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden kısım üzerine çizgi çekilir. Örneğin, \( \frac{1}{3} = 0,333... = 0,\overline{3} \).

💡 İpucu: Bir rasyonel sayının ondalık gösterimini bulurken, payı paydaya bölmeyi unutma! Uzun bölme işlemi bazen devirli kısımları görmeni sağlar. 🧐

4. Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme ↔️

• Sonlu Ondalık Gösterimler: Sayının tamamını paya yazarız. Paydaya ise virgülden sonra kaç basamak varsa o kadar sıfırlı 10'un kuvvetini (10, 100, 1000 vb.) yazarız. Sonra sadeleştirme yaparız. Örneğin, \( 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \).
• Devirli Ondalık Gösterimler: Bu biraz daha özel bir kural gerektirir. Payı bulmak için sayının tamamından devretmeyen kısmı çıkarılır. Paydayı bulmak için ise virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır. Örneğin, \( 0,\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \) veya \( 1,\overline{3} = \frac{13-1}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \).

⚠️ Dikkat: Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken formülü doğru uygulamak çok önemli. Özellikle devretmeyen kısım varsa! ✍️

5. Rasyonel Sayılarla Dört İşlem ➕➖✖️➗

Toplama ve Çıkarma İşlemleri:

• Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, ortak bir paydada (genellikle en küçük ortak katlarında) eşitlenir.
• Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynen yazılır.
• Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).

Çarpma İşlemi:

• Rasyonel sayılarla çarpma yaparken paylar birbiriyle, paydalar birbiriyle çarpılır.
• Çarpma işleminden önce sadeleştirme yapmak, işlemi kolaylaştırabilir.
• Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).
• Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, kendisiyle çarpıldığında sonucu 1 yapan sayıdır. Örneğin, \( \frac{2}{3} \)'ün çarpma işlemine göre tersi \( \frac{3}{2} \)'dir.

Bölme İşlemi:

• Rasyonel sayılarla bölme yaparken, birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
• Örnek: \( \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2 \).
• Sıfırın bir rasyonel sayıya bölümü sıfırdır ( \( 0 \div \frac{a}{b} = 0 \) ).
• Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır ( \( \frac{a}{b} \div 0 \) tanımsızdır).

⚠️ Dikkat: Tam sayılarla yapılan işlemlerdeki işaret kuralları (artı ile artının çarpımı artı, eksi ile eksinin çarpımı artı vb.) rasyonel sayılar için de geçerlidir. Özellikle negatif sayılarla işlem yaparken işaretlere çok dikkat et! 🛑

6. İşlem Önceliği 🎯

• Matematiksel işlemlerde her zaman belirli bir sıra takip edilir:
• 1. Parantez içindeki işlemler.
• 2. Üslü ifadeler.
• 3. Çarpma ve Bölme işlemleri (soldan sağa doğru).
• 4. Toplama ve Çıkarma işlemleri (soldan sağa doğru).

💡 İpucu: Karmaşık görünen işlemleri adım adım, işlem önceliğine dikkat ederek çözmek, hata yapma olasılığını azaltır. Tıpkı bir yemek tarifi gibi, adımları sırasıyla takip etmelisin! 🧑‍🍳

7. Rasyonel Sayılarla Problem Çözme 🧩

• Rasyonel sayılarla ilgili problemler genellikle günlük hayattan kesitler sunar (kitap okuma, yol yürüme, alan hesaplama vb.).
• Problemi dikkatlice oku ve verilenleri not al. Ne istendiğini anla.
• Gerekirse şekil çizerek veya sayı doğrusu kullanarak problemi görselleştirebilirsin.
• Ondalık sayılarla verilen problemleri rasyonel sayıya çevirmek veya tam tersi, işini kolaylaştırabilir.
• Çözüm adımlarını mantıklı bir sıraya koy ve her adımı dikkatlice yap.
• Sonucu kontrol etmeyi unutma! Cevabın mantıklı olup olmadığını düşün.

💡 İpucu: Bir bütünün kesrini bulurken çarpma işlemi yaparız. Örneğin, 420 sayısının \( \frac{2}{7} \)'si demek, \( 420 \times \frac{2}{7} \) demektir. 📚