7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 1

Soru 5 / 21

Merhaba Sevgili 7. Sınıf Öğrencileri! 👋

Bugünkü ders notumuzda, Rasyonel Sayılar konusunu tüm detaylarıyla ele alacağız. "7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 1" için harika bir hazırlık yapacak, konunun temel taşlarını sağlam bir şekilde öğreneceğiz. Rasyonel sayılar, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız, kesirlerle ifade edilen sayılardır. Gelin, bu sayıların gizemli dünyasına birlikte dalalım! 🚀

1. Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Yani, bir tam sayıyı başka bir tam sayıya böldüğümüzde elde ettiğimiz sayılar rasyonel sayılardır. Matematiksel olarak, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen her sayı bir rasyonel sayıdır.

Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ sembolü ile gösterilir.
Örnekler: $\frac{1}{2}$ , $-\frac{3}{4}$ , $5$ (çünkü $\frac{5}{1}$ olarak yazılabilir), $-2$ (çünkü $\frac{-2}{1}$ olarak yazılabilir), $0.75$ (çünkü $\frac{3}{4}$ olarak yazılabilir).
Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Çünkü her tam sayının paydasına $1$ yazabiliriz.
Önemli Not: Payda asla sıfır olamaz! $\frac{a}{0}$ tanımsızdır.

2. Rasyonel Sayılarda İşaret ve Denk Kesirler ➕➖

Rasyonel sayılarda işaretin yeri çok önemlidir ve bazen kafamızı karıştırabilir. Ama aslında çok basit bir kuralı var! 😊

Bir rasyonel sayının işareti, kesir çizgisinin önünde, payında veya paydasında olabilir. Bu üç durum da aynı anlama gelir.
Kural: $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$
Örnek: $\frac{-3}{5}$ , $\frac{3}{-5}$ ve $-\frac{3}{5}$ ifadelerinin hepsi $-0.6$ değerini temsil eder ve birbirine eşittir.
Denk Kesirler: Bir rasyonel sayının payını ve paydasını aynı sıfırdan farklı bir tam sayı ile çarptığımızda veya böldüğümüzde, rasyonel sayının değeri değişmez. Elde ettiğimiz yeni kesir, önceki kesre denktir.
Örnek: $\frac{2}{3}$ kesri ile $\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ kesri denktir. Yani $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ .
Bu özellik, rasyonel sayıları karşılaştırırken, toplarken veya çıkarırken paydaları eşitlemek için çok işimize yarar.

3. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi 📏

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek, onların değerlerini daha iyi anlamamızı sağlar.

Her rasyonel sayı, sayı doğrusunda belirli bir noktaya karşılık gelir.
Bir $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısını göstermek için, önce hangi iki tam sayı arasında olduğunu buluruz.
Ardından, bu iki tam sayı arasını payda ( $b$ ) kadar eşit parçaya böleriz.
Son olarak, pay ( $a$ ) kadar ilerleyerek sayının yerini işaretleriz.
Örnek: $\frac{3}{4}$ sayısını göstermek için, $0$ ile $1$ arasını $4$ eşit parçaya böleriz ve $0$ 'dan itibaren $3$ . parçayı işaretleriz.
Örnek: $-\frac{1}{2}$ sayısını göstermek için, $-1$ ile $0$ arasını $2$ eşit parçaya böleriz ve $0$ 'dan sola doğru $1$ . parçayı işaretleriz.

4. Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama ↔️

Rasyonel sayıları büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıralamak için bazı yöntemler kullanırız.

Paydaları Eşitleme: En yaygın yöntemdir. Tüm rasyonel sayıların paydalarını eşitleriz. Paydalar eşitlendikten sonra, payı büyük olan rasyonel sayı daha büyüktür.
Örnek: $\frac{1}{2}$ ve $\frac{2}{3}$ sayılarını karşılaştıralım. Paydaları $6$ 'da eşitleyelim. $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ ve $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ . $\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$ olduğundan, $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$ olur.
Payları Eşitleme: Eğer paylar eşitse, paydası küçük olan pozitif rasyonel sayı daha büyüktür. (Ters mantık!)
Örnek: $\frac{5}{7}$ ve $\frac{5}{9}$ sayılarını karşılaştıralım. Paylar eşit ( $5$ ). $7 < 9$ olduğundan, $\frac{5}{7} > \frac{5}{9}$ olur.
Negatif Rasyonel Sayılar: Negatif rasyonel sayıları sıralarken, pozitif gibi düşünüp sıralarız, sonra eşitsizlik işaretini ters çeviririz. Ya da sayı doğrusunda daha sağda olanın daha büyük olduğunu hatırlarız.
Örnek: $-\frac{1}{2}$ ve $-\frac{1}{3}$ sayılarını karşılaştıralım. Pozitif olsalardı $\frac{1}{3} > \frac{1}{2}$ (paydaları eşitle: $\frac{2}{6} > \frac{3}{6}$ yanlış! $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ , $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ yani $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ). Negatif oldukları için eşitsizlik ters döner: $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$ .

5. Rasyonel Sayılarla Dört İşlem ➕➖✖️➗

Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri, kesirlerle yaptığımız işlemlere benzerdir.

5.1. Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Paydalar Eşitse: Paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
Örnek: $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$
Örnek: $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Paydalar Eşit Değilse: Önce paydalar eşitlenir (genişletme veya sadeleştirme ile), sonra paylar toplanır veya çıkarılır.
Örnek: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$ . Paydaları $6$ 'da eşitleyelim. $\frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

5.2. Çarpma İşlemi

Paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Sadeleştirme varsa işlem öncesinde veya sonrasında yapılabilir.
Kural: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
Örnek: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
Örnek: $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$ . Sadeleştirme yapalım: $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{1}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$ (4 ile 8, 3 ile 9 sadeleşti)

5.3. Bölme İşlemi

Birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilip çarpılır.
Kural: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$
Örnek: $\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}$
Örnek: $\frac{4}{9} \div 2$ . $2$ sayısını $\frac{2}{1}$ olarak yazabiliriz. $\frac{4}{9} \div \frac{2}{1} = \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{\cancel{4}^2}{9} \times \frac{1}{\cancel{2}^1} = \frac{2}{9}$

6. Rasyonel Sayıların Kuvvetleri (Üslü İfadeleri) 💪

Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken, hem payın hem de paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır.

Kural: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Örnek: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$
Örnek: $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{(-1)^3}{2^3} = \frac{-1}{8}$
Negatif bir rasyonel sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

7. Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalık Sayılar 🔄

Rasyonel sayıları ondalık sayıya çevirebiliriz ve bazı ondalık sayılar sonsuza kadar devam eder (devirli ondalık sayılar).

Rasyonel Sayıyı Ondalık Sayıya Çevirme: Payı paydaya böleriz.
Örnek: $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75$
Örnek: $\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333...$ Bu bir devirli ondalık sayıdır.
Devirli Ondalık Sayılar: Bir ondalık sayının ondalık kısmındaki rakam veya rakamlar belirli bir düzende tekrar ediyorsa, bu sayıya devirli ondalık sayı denir. Tekrar eden kısmın üzerine çizgi çizilir.
Örnek: $0.333... = 0.\overline{3}$
Örnek: $1.272727... = 1.\overline{27}$
Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme: Bu özel bir formülle yapılır:
$\frac{\text{Sayının tamamı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}}$
Örnek: $0.\overline{3} = \frac{3-0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Örnek: $1.\overline{27} = \frac{127-1}{99} = \frac{126}{99}$ (sadeleştirilebilir)
Örnek: $0.4\overline{5} = \frac{45-4}{90} = \frac{41}{90}$

8. Çok Adımlı İşlemler 🪜

Rasyonel sayılarla yapılan çok adımlı işlemlerde, tam sayılardaki işlem önceliği kuralları geçerlidir. Unutmayın: Üslü sayılar 👉 Parantez içi 👉 Çarpma/Bölme 👉 Toplama/Çıkarma.

İşlemleri adım adım, dikkatli bir şekilde yapmalıyız.
Örnek: $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$
Önce çarpma işlemi: $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}^2} \times \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} = \frac{1}{2}$
Sonra toplama işlemi: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Özet ve Sınav İpuçları 💡

Sevgili öğrenciler, rasyonel sayılar konusu 7. sınıf matematiğinin temel taşlarından biridir. Bu konuyu iyi kavramak, sonraki yıllarda göreceğiniz konular için size sağlam bir zemin hazırlayacaktır.

İşaretlere Dikkat: Özellikle negatif sayılarla işlem yaparken işaret hataları yapmamaya özen gösterin.
Payda Eşitleme: Toplama ve çıkarma işlemlerinin olmazsa olmazıdır. En küçük ortak katı bulmak işinizi kolaylaştırır.
Sadeleştirme: İşlemlerinizi kolaylaştırmak için çarpma ve bölme işlemlerinde sadeleştirmeyi ihmal etmeyin.
İşlem Önceliği: Çok adımlı sorularda işlem önceliği kurallarına harfiyen uyun.
Bol Bol Pratik: Matematik, pratik yaparak gelişen bir derstir. Ne kadar çok soru çözerseniz, konuyu o kadar iyi pekiştirirsiniz! ✍️

Umarım bu ders notu, "7. Sınıf Rasyonel Sayılar Karma Test 1" ve genel olarak rasyonel sayılar konusundaki bilgilerinizi pekiştirmenize yardımcı olur. Başarılar dilerim! ✨

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Cevaplanan
Aktif
Boş