🎓 11. Sınıf Analitik Geometri Karma Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Analitik geometri, geometri ve cebiri birleştirerek geometrik şekilleri ve uzaysal ilişkileri koordinat sistemi üzerinde inceleyen bir matematik dalıdır. Bu test, analitik düzlemde noktalar, doğrular ve temel geometrik şekillerle ilgili temel bilgilerinizi ölçmektedir. İşte bu konularda bilmeniz gereken kritik noktalar ve formüller:

📍 Noktaların Analitiği

• Koordinat Sistemi ve Bölgeler: Analitik düzlem, iki dik eksen (x-ekseni ve y-ekseni) ile dört bölgeye ayrılır. Bir \(P(x, y)\) noktasının koordinatları, o noktanın eksenlere olan dik uzaklıklarını belirtir.
  • I. Bölge: \(x > 0, y > 0\) (Örnek: \( (3, 5) \))
  • II. Bölge: \(x < 0, y > 0\) (Örnek: \( (-2, 4) \))
  • III. Bölge: \(x < 0, y < 0\) (Örnek: \( (-6, -1) \))
  • IV. Bölge: \(x > 0, y < 0\) (Örnek: \( (7, -3) \))
• Eksen Üzerindeki Noktalar:
  • x-ekseni üzerindeki noktaların y koordinatı 0'dır (Örnek: \( (5, 0) \)).
  • y-ekseni üzerindeki noktaların x koordinatı 0'dır (Örnek: \( (0, -4) \)).
• İki Nokta Arası Uzaklık: \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktaları arasındaki uzaklık \(|AB|\) aşağıdaki formülle bulunur:
  \(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
  ⚠️ Dikkat: Uzaklık formülünü kullanırken karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini almayı unutmayın. Bu durumda ortaya çıkabilecek ikinci dereceden denklemlerin köklerini doğru hesaplayın.
• Doğru Parçasının Orta Noktası: \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası \(C(x_o, y_o)\) aşağıdaki formülle bulunur:
  \(x_o = \frac{x_1 + x_2}{2}\)
  \(y_o = \frac{y_1 + y_2}{2}\)
• Üçgenin Ağırlık Merkezi: Köşe koordinatları \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) ve \(C(x_3, y_3)\) olan bir üçgenin ağırlık merkezi \(G(x_G, y_G)\) aşağıdaki formülle bulunur:
  \(x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\)
  \(y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\)
  💡 İpucu: Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü). Bu özellik, dik üçgenin köşelerini bulmada veya eksik koordinatları tamamlamada size yardımcı olabilir.
• Parametrik Nokta İfadeleri: Bir noktanın koordinatları, bir parametreye (genellikle \(t\)) bağlı olarak verilebilir. Belirli bir \(t\) değeri için noktanın koordinatlarını bulmak için \(t\) değerini yerine koymanız yeterlidir.

📏 Doğrunun Analitiği

• Doğrunun Eğimi (m):
  • İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi: \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktalarından geçen doğrunun eğimi:
    \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
  • Eğim Açısı Bilinen Doğrunun Eğimi: Bir doğrunun x-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı \(\alpha\) ise, eğim \(m = \tan \alpha\) ile bulunur.
    💡 İpucu: Geniş açılarda (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)) tanjant değeri negatif olur. Örneğin, \(m = \tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).
  • Doğru Denklemi Verilen Doğrunun Eğimi:
    • \(y = mx + n\) şeklindeki doğrularda eğim \(m\)'dir.
    • \(Ax + By + C = 0\) şeklindeki doğrularda eğim \(m = -\frac{A}{B}\)'dir.
• Doğru Denklemi Yazma:
  • Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: Eğimi \(m\) olan ve \(A(x_1, y_1)\) noktasından geçen doğrunun denklemi:
    \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
  • İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: Önce eğim bulunur, sonra yukarıdaki formül kullanılır.
  • Orijinden Geçen Doğrunun Denklemi: Orijin \( (0,0) \) noktasından geçen doğruların denklemi \(y = mx\) şeklindedir.
• Eksenleri Kesen Noktalar:
  • Bir doğrunun x-eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \(y=0\) yazılır.
  • Bir doğrunun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \(x=0\) yazılır.

↔️ Doğruların Birbirine Göre Durumları

• Paralel Doğrular: İki doğru paralel ise eğimleri eşittir.
  \(d_1 // d_2 \implies m_1 = m_2\)
• Dik Kesişen Doğrular: İki doğru dik kesişiyorsa eğimleri çarpımı -1'dir.
  \(d_1 \perp d_2 \implies m_1 \cdot m_2 = -1\)
  ⚠️ Dikkat: Eksenlere paralel doğrular için bu kural geçerli değildir. Örneğin, \(x=a\) (y-eksenine paralel) ve \(y=b\) (x-eksenine paralel) doğruları dik kesişir ancak eğimleri tanımsız ve 0'dır.
• Doğruların Kesişim Noktası: İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için doğru denklemleri ortak (denklem sistemi gibi) çözülür. Elde edilen \(x\) ve \(y\) değerleri kesişim noktasının koordinatlarıdır.
  💡 İpucu: Eğer doğrular x-ekseni üzerinde kesişiyorsa, kesim noktasının y koordinatı 0'dır. Bu bilgiyi denklemlerde kullanarak bilinmeyenleri bulabilirsiniz.

🔺 Geometrik Şekillerin Analitiği

• Üçgenin Alanı: Köşeleri bilinen bir üçgenin alanı determinant yöntemiyle bulunabilir. Ancak, genellikle eksenler üzerinde veya özel konumdaki üçgenlerin alanı, taban ve yüksekliğin koordinat sisteminden okunarak hesaplanır:
  Alan \( = \frac{\text{taban uzunluğu} \times \text{yükseklik}}{2}\)
  💡 İpucu: Özellikle bir köşesi orijinde olan veya kenarları eksenlere paralel olan üçgenlerde bu yöntem çok pratiktir.
• Dik Üçgen Şartı: Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için kenar uzunluklarını bulup Pisagor bağıntısını kontrol edebilir veya köşelerdeki doğruların eğimlerini bulup diklik şartını (\(m_1 \cdot m_2 = -1\)) inceleyebilirsiniz.

Bu ders notu, "11. Sınıf Analitik Geometri Karma Test 1"deki tüm konuları kapsayacak şekilde hazırlanmıştır. Sınavda başarılar dilerim!