🎓 11. Sınıf Doğrunun Analitik İncelenmesi Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 11. sınıf "Doğrunun Analitik İncelenmesi" ünitesindeki temel kavramları, doğru denklemlerini, eğim hesaplamalarını, doğruların birbirine göre durumlarını ve doğrularla eksenler arasında kalan alan hesaplamalarını kapsamaktadır. Sınav öncesi hızlı bir tekrar yapmak ve kritik noktaları gözden geçirmek için ideal bir kaynaktır. 🚀

1. Doğru Denklemleri ve Noktanın Doğruyu Sağlaması

• Bir doğrunun denklemi genellikle $y=mx+n$ (eğim-kesim noktası formu) veya $Ax+By+C=0$ (genel denklem) şeklinde ifade edilir.
• Bir noktanın $(x_0, y_0)$ bir doğru üzerinde olması demek, bu noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlaması demektir. Yani, x yerine $x_0$, y yerine $y_0$ yazıldığında denklem doğru olmalıdır.
• 💡 İpucu: Eğer bir doğru orijinden $(0,0)$ geçiyorsa, denklemi $y=mx$ şeklindedir. Bu durumda C sabiti 0'dır.

2. Doğrunun Eğimi

• Eğim (m), bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır. $m=\tan\alpha$
• İki noktası $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ bilinen bir doğrunun eğimi: $$m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
• $y=mx+n$ şeklindeki bir doğrunun eğimi doğrudan x'in katsayısı olan m'dir.
• $Ax+By+C=0$ şeklindeki bir doğrunun eğimi: $$m=-\frac{A}{B}$$
• ⚠️ Dikkat: Dikey doğruların ($x=a$) eğimi tanımsızdır. Yatay doğruların ($y=b$) eğimi 0'dır.

3. İki Doğrunun Kesim Noktası

• İki doğrunun kesim noktasını bulmak için, doğru denklemleri bir denklem sistemi gibi çözülür. Genellikle yok etme veya yerine koyma metodu kullanılır.
• Bulunan $(x, y)$ değeri, her iki doğru denklemini de sağlayan tek noktadır.
• 💡 İpucu: Eğer üç doğru bir noktada kesişiyorsa, ilk iki doğrunun kesim noktasını bulup, bu noktayı üçüncü doğru denkleminde yerine koyarak bilinmeyeni bulabilirsin.

4. Doğrunun Eksenleri Kestiği Noktalar

• Bir doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde $y=0$ yazılır ve x değeri bulunur. Bu nokta $(x, 0)$ şeklindedir.
• Bir doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde $x=0$ yazılır ve y değeri bulunur. Bu nokta $(0, y)$ şeklindedir.
• Bu noktalar, doğruların koordinat eksenleriyle oluşturduğu geometrik şekillerin (genellikle üçgen) kenar uzunluklarını belirlemede kullanılır.

5. Doğruların Oluşturduğu Alanlar

• Koordinat eksenleri ve bir doğru arasında kalan bölge genellikle bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin alanı, eksenleri kestiği noktalar kullanılarak hesaplanır: $$\text{Alan} = \frac{|x-\text{keseni}| \cdot |y-\text{keseni}|}{2}$$
• Birden fazla doğru ve/veya eksenler arasında kalan alanlar, genellikle daha karmaşık şekiller (yamuk, dörtgen) oluşturur. Bu alanları hesaplamak için şekli dik üçgenlere veya dikdörtgenlere ayırmak, ya da tüm alandan istenmeyen kısımları çıkarmak gibi yöntemler kullanılır.
• ⚠️ Dikkat: Alan hesaplarken uzunluklar her zaman pozitif olmalıdır, bu yüzden mutlak değer kullanılır.
• 💡 İpucu: Karmaşık alan sorularında, doğruların grafiğini kabaca çizmek, hangi noktaların kesiştiğini ve hangi bölgenin alanının istendiğini görselleştirmene yardımcı olur. 📈

6. Özel Doğrular

• $x=a$ şeklindeki doğrular, y eksenine paralel ve x eksenini $(a, 0)$ noktasında kesen dikey doğrulardır.
• $y=b$ şeklindeki doğrular, x eksenine paralel ve y eksenini $(0, b)$ noktasında kesen yatay doğrulardır.
• $y=x$ doğrusu, orijinden geçen ve x ekseniyle 45 derecelik açı yapan bir doğrudur (birinci açıortay doğrusu).
• $y=-x$ doğrusu, orijinden geçen ve x ekseniyle 135 derecelik açı yapan bir doğrudur (ikinci açıortay doğrusu).

7. Doğruların Birbirine Göre Durumları

İki doğru $d_1: A_1x+B_1y+C_1=0$ ve $d_2: A_2x+B_2y+C_2=0$ için:

• Kesişen Doğrular: Eğimleri farklıdır ($m_1 \neq m_2$). Veya katsayılar oranı farklıdır: $$\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$$
• Paralel Doğrular: Eğimleri eşit, sabit terimleri (y-kesenleri) farklıdır ($m_1 = m_2$ ve $n_1 \neq n_2$). Veya katsayılar oranı eşit, sabit terim oranı farklıdır: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$$
• Çakışık Doğrular: Eğimleri ve sabit terimleri (y-kesenleri) eşittir ($m_1 = m_2$ ve $n_1 = n_2$). Veya tüm katsayılar oranı eşittir: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$$
• 💡 İpucu: Genel denklem formunda verilen doğrular için katsayılar oranını kontrol etmek daha pratik olabilir. Eğim-kesim formunda ise doğrudan eğim ve y-kesenlerini karşılaştırın.

8. İki Doğru Arasındaki Açı

• Eğimleri $m_1$ ve $m_2$ olan iki doğru arasındaki açı $\theta$ ise, $$\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$$ formülü kullanılır.
• Bu formül genellikle dar açıyı verir. Eğer geniş açı isteniyorsa, bulunan dar açıyı 180 dereceden çıkararak bulabilirsin ($180^\circ - \text{dar açı}$).
• ⚠️ Dikkat: Eğer $1+m_1m_2=0$ ise, yani $m_1m_2=-1$ ise doğrular birbirine diktir ve aralarındaki açı 90 derecedir. Bu durumda tanjant tanımsız olur.
• 💡 İpucu: Bazı özel eğim değerleri için açıları hatırlamak işini kolaylaştırır: $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Negatif eğimler için açının geniş açı olduğunu unutma (örneğin $\tan 135^\circ = -1$).

Umarım bu ders notları, "Doğrunun Analitik İncelenmesi" konusundaki bilgilerini pekiştirmene ve testlerde başarılı olmana yardımcı olur! Bol şans! 🍀