🎓 11. Sınıf Trigonometri Karma Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 11. sınıf trigonometri konularından oluşan karma bir testi temel alarak hazırlanmıştır. Test, özellikle ters trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik özdeşlikler, indirgeme formülleri, trigonometrik fonksiyonların grafikleri ve geometrik problemlerle ilişkili trigonometrik oranlar üzerine odaklanmaktadır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınızı yapmanız ve konuları pekiştirmeniz için kapsamlı bir rehber niteliğindedir. 🚀

1. Ters Trigonometrik Fonksiyonlar (Arksinüs, Arkkosinüs, Arktanjant, Arkkotanjant)

Trigonometrik fonksiyonların birebir ve örten oldukları belirli aralıklarda tanımlanan ters fonksiyonlarıdır.

• Arksinüs (arcsin x veya sin⁻¹x):

  y = arcsin x demek, sin y = x demektir.

  • Tanım kümesi: [-1, 1]
  • Görüntü kümesi: [-π/2, π/2]
• Arkkosinüs (arccos x veya cos⁻¹x):

  y = arccos x demek, cos y = x demektir.

  • Tanım kümesi: [-1, 1]
  • Görüntü kümesi: [0, π]
• Arktanjant (arctan x veya tan⁻¹x):

  y = arctan x demek, tan y = x demektir.

  • Tanım kümesi: (-∞, ∞)
  • Görüntü kümesi: (-π/2, π/2)
• Arkkotanjant (arccot x veya cot⁻¹x):

  y = arccot x demek, cot y = x demektir.

  • Tanım kümesi: (-∞, ∞)
  • Görüntü kümesi: (0, π)

💡 İpucu: Bir ters trigonometrik ifadeyi gördüğünüzde (örneğin `arctan(\frac{3}{2}) = x`), hemen bir dik üçgen çizin! 📐 Bu üçgende `tan x = \frac{3}{2}` olacak şekilde kenarları yerleştirin (karşı = 3, komşu = 2). Hipotenüsü Pisagor ile bulun (√13). Ardından diğer trigonometrik oranları (sinx, cosx, cotx vb.) kolayca hesaplayabilirsiniz.

⚠️ Dikkat: Ters trigonometrik fonksiyonların görüntü kümeleri (değer aralıkları) çok önemlidir! Örneğin, `arcsin x`'in sonucu her zaman -90° ile 90° arasında olmalıdır. Denklemleri çözerken bu aralıklara dikkat edin. 🎯

Önemli Özdeşlikler:

• `arctan x + arccot x = \frac{\pi}{2}`
• `arcsin x + arccos x = \frac{\pi}{2}`

Ters Fonksiyon Bulma Adımları:

• f(x) = y yazın.
• x'i y cinsinden yalnız bırakın.
• x yerine f⁻¹(y) ve y yerine x yazın.
• Örnek: y = sin(x/2 - 3) fonksiyonunun tersini bulalım.
  1. arcsin(y) = x/2 - 3
  2. arcsin(y) + 3 = x/2
  3. 2(arcsin(y) + 3) = x
  4. Sonuç: f⁻¹(x) = 2arcsin(x) + 6

2. Trigonometrik Özdeşlikler ve İndirgeme Formülleri

Trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve denklemleri çözmek için hayati öneme sahiptirler. 🛠️

• Temel Özdeşlikler:
  • `sin^2 x + cos^2 x = 1` (En çok kullanılan!)
  • `tan x = \frac{sin x}{cos x}`
  • `cot x = \frac{cos x}{sin x}`
  • `tan x \cdot cot x = 1`
  • `sec x = \frac{1}{cos x}`
  • `cosec x = \frac{1}{sin x}`
• İndirgeme Formülleri (Açı Dönüşümleri):

  Açıları 90° (`\frac{\pi}{2}`) ve 270° (`\frac{3\pi}{2}`) ile toplarken veya çıkarırken fonksiyon ismi değişir (sin ↔ cos, tan ↔ cot). Açıları 180° (`\pi`) ve 360° (`2\pi`) ile toplarken veya çıkarırken fonksiyon ismi değişmez.

  İşaret, açının orijinal bölgesine göre belirlenir. Örneğin, `cos(\frac{3\pi}{2} - x)` ifadesinde `\frac{3\pi}{2} - x` açısı 3. bölgededir ve kosinüs 3. bölgede negatiftir. Fonksiyon ismi değişir (cos → sin). Dolayısıyla `cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -sin x`.

  Örnekler:

  • `sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos x` (2. bölge, sinüs pozitif, isim değişir)
  • `cos(\pi + x) = -cos x` (3. bölge, kosinüs negatif, isim değişmez)
  • `tan(2\pi - x) = -tan x` (4. bölge, tanjant negatif, isim değişmez)
  • `cot(\frac{3\pi}{2} + x) = -tan x` (4. bölge, kotanjant negatif, isim değişir)
• Tümler Açılar Özdeşliği:

  Toplamları 90° (`\frac{\pi}{2}`) olan açılar için:

  • `sin x = cos(90^\circ - x)`
  • `tan x = cot(90^\circ - x)`
  • `sec x = cosec(90^\circ - x)`

  Bu özdeşlikler, özellikle `sin^2 x + sin^2 (90^\circ - x) = sin^2 x + cos^2 x = 1` gibi toplam ve çarpım sorularında çok işe yarar. Örneğin, `sin^2 3^\circ + sin^2 87^\circ = sin^2 3^\circ + cos^2 3^\circ = 1`. Aynı şekilde `tan 2^\circ \cdot tan 88^\circ = tan 2^\circ \cdot cot 2^\circ = 1`.

⚠️ Dikkat: İndirgeme yaparken önce bölgeyi belirleyip işaretini koyun, sonra fonksiyon isminin değişip değişmeyeceğine karar verin. Sırayı karıştırmayın! 🔄

3. Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının temel grafiklerini ve bunların nasıl dönüştüğünü anlamak önemlidir. 📈

Genel bir trigonometrik fonksiyon denklemi `y = A sin(Bx + C) + D` veya `y = A cos(Bx + C) + D` şeklinde ifade edilebilir.

• Genlik (|A|): Fonksiyonun denge noktasından (y = D) ne kadar yukarı veya aşağı saptığını gösterir. Maksimum değer `D + |A|`, minimum değer `D - |A|`'dır.
• Periyot (T): Fonksiyonun bir tam döngüsünü tamamlaması için gereken x aralığıdır.
  • Sinüs ve Kosinüs için: `T = \frac{2\pi}{|B|}`
  • Tanjant ve Kotanjant için: `T = \frac{\pi}{|B|}`
• Faz Kayması (-C/B): Grafiğin yatayda ne kadar kaydığını gösterir.
• Dikey Öteleme (D): Grafiğin dikeyde ne kadar kaydığını gösterir. Denge noktası `y = D` doğrusudur.

💡 İpucu: Bir grafiğin denklemini bulurken önce periyodunu ve denge noktasını (ortalama değerini) belirleyin. Sonra maksimum ve minimum noktalarına bakarak genliği ve dikey ötelemeyi bulun. Son olarak, grafiğin başlangıç noktasının (x=0) sinüs veya kosinüsün temel başlangıç noktalarına göre kaymasını değerlendirerek faz kaymasını ve fonksiyon tipini (sin/cos) belirleyin. Örneğin, `y = 2 + cos(2x)` fonksiyonu `y = cos(2x)` grafiğinin 2 birim yukarı ötelenmiş halidir. Periyodu `\frac{2\pi}{2} = \pi`'dir. Minimum değeri `2-1=1`, maksimum değeri `2+1=3`'tür.

4. Dik Üçgende Trigonometrik Uygulamalar ve Geometri İlişkisi

Trigonometri, geometri problemlerini çözmede güçlü bir araçtır. Özellikle dik üçgenlerdeki oranlar temeldir. 📐

• SOH CAH TOA:
  • Sinüs (sin): Karşı Dik Kenar / Hipotenüs
  • Kosinüs (cos): Komşu Dik Kenar / Hipotenüs
  • Tanjant (tan): Karşı Dik Kenar / Komşu Dik Kenar
  • Kotanjant (cot): Komşu Dik Kenar / Karşı Dik Kenar
  • Sekant (sec): Hipotenüs / Komşu Dik Kenar (`\frac{1}{cos}`)
  • Kosekant (cosec): Hipotenüs / Karşı Dik Kenar (`\frac{1}{sin}`)
• Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir (`a^2 + b^2 = c^2`).
• Geometrik Şekillerde Uygulama: Kare, dikdörtgen gibi şekillerde oluşan dik üçgenleri iyi tanıyın. Gerekirse yardımcı çizgiler çizerek dik üçgenler oluşturun. Koordinat sistemi üzerinde verilen şekillerde noktaların koordinatlarını kullanarak kenar uzunluklarını bulabilirsiniz.
• Benzerlik: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları ve açıları aynıdır. Bu, bilinmeyen uzunlukları veya açıların trigonometrik değerlerini bulmada yardımcı olabilir.

💡 İpucu: Geometri sorularında açının doğrudan bir dik üçgen içinde olmadığını fark ettiğinizde, açıyı taşıyın veya uygun bir dik üçgen oluşturacak yardımcı çizgiler çizin. Örneğin, paralel doğrular arasındaki iç ters veya yöndeş açılardan faydalanarak açıyı taşıyabilirsiniz. 🚶‍♂️

⚠️ Dikkat: Oranları yazarken hangi kenarın hangi açıya göre "karşı" veya "komşu" olduğunu doğru belirleyin. Açıya göre bu roller değişebilir. 👍

Umarım bu kapsamlı ders notu, 11. Sınıf Trigonometri Karma Test 4'teki soruları çözerken ve genel olarak trigonometriye çalışırken size yol gösterir. Başarılar dilerim! ✨