Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim.

• Adım 1: \(f_{15}\left(\frac{\pi}{3}\right)\) değerini hesaplayalım.

Burada \(n=15\) tek sayıdır, bu yüzden fonksiyonun ilk tanımını kullanırız:

\[f_n(\alpha) = \sin\left(\frac{n\pi}{2} + \alpha\right)\]

\(n=15\) ve \(\alpha=\frac{\pi}{3}\) değerlerini yerine koyarsak:

\[f_{15}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{15\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\]

\(\frac{15\pi}{2}\) ifadesini basitleştirelim: \(\frac{15\pi}{2} = 7\pi + \frac{\pi}{2}\). Trigonometrik fonksiyonların periyodik özelliklerini kullanarak:

\[\sin\left(7\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(6\pi + \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\]

\[= \sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right)\]

\[= -\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\]

Biliyoruz ki \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\). Bu durumda:

\[= -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\]

Ve \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\) olduğundan:

\[f_{15}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\]

• Adım 2: \(f_{20}\left(\frac{\pi}{3}\right)\) değerini hesaplayalım.

Burada \(n=20\) çift sayıdır, bu yüzden fonksiyonun ikinci tanımını kullanırız:

\[f_n(\alpha) = \cos\left(\frac{n\pi}{4} + \alpha\right)\]

\(n=20\) ve \(\alpha=\frac{\pi}{3}\) değerlerini yerine koyarsak:

\[f_{20}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{20\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)\]

\(\frac{20\pi}{4}\) ifadesini basitleştirelim: \(\frac{20\pi}{4} = 5\pi\). Trigonometrik fonksiyonların periyodik özelliklerini kullanarak:

\[\cos\left(5\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(4\pi + \pi + \frac{\pi}{3}\right)\]

\[= \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right)\]

Biliyoruz ki \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\). Bu durumda:

\[= -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\]

Ve \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\) olduğundan:

\[f_{20}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\]

• Adım 3: Toplamı bulalım.

Şimdi bulduğumuz değerleri toplayalım:

\[f_{15}\left(\frac{\pi}{3}\right) + f_{20}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[= -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\]

\[= -1\]

Cevap B seçeneğidir.