🎓 11. Sınıf Trigonometrik Fonksiyonların Grafiği ve Periyot Bulma Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Merhaba sevgili 11. sınıf öğrencileri!

Bu ders notu, trigonometrik fonksiyonların esas periyotlarını bulma ve grafiklerini yorumlama/çizme konularını kapsayan bir testin analizinden yola çıkarak hazırlanmıştır. Amacımız, bu konulardaki temel bilgileri pekiştirerek sınavlara daha hazırlıklı olmanızı sağlamaktır. Notlarımız, fonksiyonların periyodik yapısını anlamaktan, grafikler üzerindeki dönüşümleri yorumlamaya kadar geniş bir yelpazeyi ele almaktadır.

Esas Periyot Kavramı ve Hesaplaması

Periyodik Fonksiyon Nedir?

• Bir fonksiyonun belirli aralıklarla aynı değerleri tekrar etmesi durumunda bu fonksiyona "periyodik fonksiyon" denir. Tekrar eden en küçük pozitif aralığa ise "esas periyot" adı verilir ve genellikle T ile gösterilir.

Temel Trigonometrik Fonksiyonların Esas Periyotları:

• sin(x) ve cos(x) fonksiyonları: Esas periyotları 2π'dir. Yani her 2π radyanlık açıda değerleri tekrar eder.

• tan(x) ve cot(x) fonksiyonları: Esas periyotları π'dir. Yani her π radyanlık açıda değerleri tekrar eder.

Genel Formdaki Trigonometrik Fonksiyonların Esas Periyotları:

f(x) = a · sinⁿ(bx + c) + d veya f(x) = a · cosⁿ(bx + c) + d şeklindeki fonksiyonlar için esas periyot (T) şu kurallara göre bulunur:

• Eğer n (kuvvet) tek sayı ise (örneğin sin³x, cos⁵x), esas periyot T = 2π / |b| formülüyle bulunur.

• Eğer n (kuvvet) çift sayı ise (örneğin sin²x, cos⁴x), esas periyot T = π / |b| formülüyle bulunur.

• 💡 İpucu: Kuvvetin tek veya çift olması, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodunu etkiler. Çift kuvvetler, fonksiyonun negatif değerlerini pozitif yaparak periyodu yarıya indirir (2π'den π'ye).

f(x) = a · tanⁿ(bx + c) + d veya f(x) = a · cotⁿ(bx + c) + d şeklindeki fonksiyonlar için esas periyot (T) şu kurallara göre bulunur:

• Tan(x) ve Cot(x) fonksiyonlarının esas periyotları zaten π olduğu için, kuvvet (n) tek de olsa çift de olsa esas periyot T = π / |b| formülüyle bulunur.

• ⚠️ Dikkat: Tan(x) ve Cot(x) fonksiyonlarında kuvvetin tek veya çift olması periyodu değiştirmez, her zaman π / |b| kullanılır.

Toplama veya Çıkarma Halindeki Fonksiyonların Esas Periyotları:

Eğer h(x) = f(x) ± g(x) şeklinde iki veya daha fazla periyodik fonksiyonun toplamı veya farkı şeklinde bir fonksiyonun esas periyodu soruluyorsa:

• Öncelikle f(x) ve g(x) fonksiyonlarının ayrı ayrı esas periyotları (T_f ve T_g) bulunur.
• h(x) fonksiyonunun esas periyodu, T_f ve T_g'nin en küçük ortak katına (EKOK) eşittir.

• EKOK (T_f, T_g) = EKOK (a/b, c/d) = EKOK(a,c) / EBOB(b,d) formülü rasyonel sayılar için kullanılır. Burada a, b, c, d pozitif tam sayılardır.

• 💡 İpucu: Eğer periyotlardan biri veya ikisi π'li ifadeler ise (örneğin π/2, 3π/4), payları π'nin katsayıları, paydaları ise sabit sayılar olarak düşünebilirsiniz.

• ⚠️ Dikkat: Bu kural sadece toplama veya çıkarma durumunda geçerlidir. Çarpma veya bölme durumunda periyot bulma daha karmaşık olabilir ve genellikle lise müfredatında bu tür durumlar sorulmaz.

Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri, periyodik olmaları nedeniyle belirli aralıklarla kendini tekrar eden dalgalı şekiller sergiler. Genel bir trigonometrik fonksiyonun denklemi şu şekillerde ifade edilebilir:

y = A · sin(Bx + C) + D

y = A · cos(Bx + C) + D

Bu denklemdeki A, B, C, D katsayıları grafiğin şeklini ve konumunu belirler:

• A (Genlik - Amplitude): Fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri arasındaki dikey mesafenin yarısıdır. |A| değeri genliği verir. Eğer A negatif ise, grafik x eksenine göre yansır.

  • Maksimum değer = |A| + D
  • Minimum değer = -|A| + D

• B (Periyot Üzerindeki Etkisi): B katsayısı fonksiyonun periyodunu belirler. Periyot T = 2π / |B| (sin ve cos için) veya T = π / |B| (tan ve cot için) olarak hesaplanır. B değeri büyüdükçe periyot küçülür, yani grafik daha sık tekrar eder.

• C (Faz Kayması - Phase Shift): C katsayısı grafiğin yatayda ne kadar kaydığını gösterir. Faz kayması -C/B kadardır. Pozitif ise sola, negatif ise sağa kayar. (Bu genellikle daha ileri seviye sorularda karşınıza çıkar, temel grafik çizimlerinde başlangıç noktası kayması olarak düşünülebilir.)

• D (Dikey Kayma - Vertical Shift): D katsayısı grafiğin düşeyde ne kadar kaydığını gösterir. D pozitif ise grafik yukarı, negatif ise aşağı kayar. D aynı zamanda fonksiyonun denge çizgisini (orta noktasını) belirler.

Grafik Çizme ve Yorumlama İpuçları:

• Temel Grafikleri Bilmek: sin(x) ve cos(x) fonksiyonlarının [0, 2π] aralığındaki temel grafiklerini ve bu aralıktaki kritik noktalarını (0, π/2, π, 3π/2, 2π) ezbere bilmek, dönüşümleri anlamak için çok önemlidir.

  • sin(0)=0, sin(π/2)=1, sin(π)=0, sin(3π/2)=-1, sin(2π)=0
  • cos(0)=1, cos(π/2)=0, cos(π)=-1, cos(3π/2)=0, cos(2π)=1

• Dikey Kaymayı Belirleme (D): Grafiğin orta noktasını (denge çizgisini) bulun. Bu genellikle maksimum ve minimum değerlerin ortalamasıdır. (Maks + Min) / 2 = D.

• Genliği Belirleme (A): Maksimum ve minimum değerler arasındaki farkın yarısı genliği verir. (Maks - Min) / 2 = |A|. Eğer grafik D noktasından başlayıp önce yukarı çıkıyorsa A pozitif, önce aşağı iniyorsa A negatif olabilir (sinüs için).

• Periyodu Belirleme (B): Grafiğin bir tam döngüyü tamamladığı yatay mesafeyi bulun. Bu size periyodu (T) verir. Sonra T = 2π / |B| (veya π / |B|) formülünden |B| değerini hesaplayın.

• Başlangıç Noktalarını Kontrol Etme: x=0 için y değerini hesaplayarak veya grafikten okuyarak, hangi fonksiyonun (sin veya cos) ve hangi dönüşümlerin uygun olduğunu belirleyebilirsiniz.

  • Örneğin, x=0'da y=D ise ve grafik yükselmeye başlıyorsa sinüs fonksiyonuna daha yakındır.
  • x=0'da y=D+|A| ise kosinüs fonksiyonuna daha yakındır.

• Şıklardan Gitme: Özellikle grafik yorumlama sorularında, şıklardaki fonksiyon denklemlerini kullanarak kritik noktalarda (x=0, x=π/2, x=π vb.) fonksiyon değerlerini hesaplayıp grafikle karşılaştırmak hızlı bir çözüm yolu olabilir.

Umarım bu ders notu, trigonometrik fonksiyonların grafikleri ve periyotları konusundaki bilgilerinizi pekiştirmenize yardımcı olur. Başarılar dilerim!