🎓 10. Sınıf Basit Olayların Olasılıkları Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 10. sınıf müfredatında yer alan "Basit Olayların Olasılıkları" konusunu temel alarak, bir testte karşılaşabileceğin ana başlıkları ve çözüm stratejilerini özetlemektedir. Notlarımız, özellikle örnek uzay ve olayın eleman sayısını doğru bir şekilde belirlemeye odaklanmıştır. Bu konuları iyi kavramak, olasılık hesaplamalarının temelini oluşturur.

🎲 Temel Kavramlar

• Deney: Bir olayın sonucunu görmek için yapılan işlem veya gözlem. Örneğin, bir madeni parayı atmak, bir zar atmak, torbadan bilye çekmek.
• Çıktı (Sonuç): Bir deneyin mümkün olan her bir sonucu. Örneğin, bir madeni para atıldığında "Yazı" veya "Tura" gelmesi birer çıktıdır.
• Örnek Uzay (S): Bir deneyde elde edilebilecek tüm mümkün çıktılarının kümesidir. Genellikle 'S' harfi ile gösterilir. Örnek uzayın eleman sayısına n(S) denir.
• Olay (A): Örnek uzayın herhangi bir alt kümesidir. Belirli bir koşulu sağlayan çıktılar kümesidir. Olayın eleman sayısına n(A) denir.
• Basit Olay: Sadece bir çıktıyı içeren olaydır.

🔢 Örnek Uzayın Eleman Sayısını (n(S)) Bulma

Örnek uzayın eleman sayısını doğru belirlemek, olasılık sorularının ilk ve en kritik adımıdır. İşte sıkça karşılaşılan durumlar:

• Madeni Para Deneyleri:
  • Bir madeni para atıldığında 2 farklı sonuç (Yazı, Tura) vardır.
  • n tane madeni para atıldığında örnek uzayın eleman sayısı $2^n$ olur.
  • 💡 Örnek: 3 madeni para atıldığında $2^3 = 8$ farklı sonuç oluşur. (YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT)
• Zar Deneyleri:
  • Bir zar atıldığında 6 farklı sonuç (1, 2, 3, 4, 5, 6) vardır.
  • n tane zar atıldığında örnek uzayın eleman sayısı $6^n$ olur.
  • 💡 Örnek: 2 zar atıldığında $6^2 = 36$ farklı sonuç oluşur.
  • ⚠️ Dikkat: "İki zar atılıyor" ile "Bir zar iki kez atılıyor" aynı anlama gelir ve örnek uzayları aynıdır.
• Sayı Seçme Deneyleri:
  • Belirli bir aralıktaki sayıları seçerken, bu aralıktaki sayı adedini bulmalısın.
  • Sayı adedi = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülü kullanılabilir.
  • 💡 Örnek: İki basamaklı, 5 ile tam bölünen sayılar (10, 15, ..., 95).
    n(S) = (95 - 10) / 5 + 1 = 85 / 5 + 1 = 17 + 1 = 18.
  • 💡 Örnek: Üç basamaklı doğal sayılar (100, 101, ..., 999).
    n(S) = 999 - 100 + 1 = 900.
• Torbadan Nesne Çekme Deneyleri:
  • Torbadan bir nesne çekiliyorsa, örnek uzayın eleman sayısı torbadaki toplam nesne sayısıdır.
  • 💡 Örnek: 5 yeşil, 7 turuncu bilye olan torbadan bir bilye çekme.
    n(S) = 5 + 7 = 12.
• Küme Alt Kümeleri:
  • n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı $2^n$'dir.
  • 💡 Örnek: 7 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri $2^7 = 128$ tanedir.

🎯 Olayın Eleman Sayısını (n(A)) Bulma

Olayın eleman sayısını bulurken, istenen koşulları sağlayan durumları dikkatlice saymak veya sayma yöntemlerini kullanmak önemlidir.

• Belirli Sayıda Yazı/Tura Gelmesi:
  • Bu tür durumlarda kombinasyon kullanılır. n denemeden k tanesinin belirli bir özellikte olması için $\binom{n}{k}$ formülü kullanılır.
  • $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
  • 💡 Örnek: 3 madeni para atıldığında ikisinin yazı, birinin tura gelmesi.
    Bu, 3 atıştan 2'sinin yazı gelmesi demektir: $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$. (YYT, YTY, TYY)
  • 💡 Örnek: 6 madeni para atıldığında üçünün yazı, üçünün tura gelmesi.
    $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
• Zar Toplamının Belirli Bir Değer Olması:
  • İki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamı için durumları listeleyerek veya sistematik düşünerek bulabilirsin.
  • 💡 Örnek: İki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 3'ten büyük ve 7'den küçük olması (yani toplamın 4, 5 veya 6 olması).
    • Toplam 4: (1,3), (2,2), (3,1) → 3 durum
    • Toplam 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 durum
    • Toplam 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 durum
    
    Toplamda n(A) = 3 + 4 + 5 = 12 durum.
• Sayı Özelliklerine Göre Seçim:
  • Sayıların tek/çift olması, belirli bir sayının katı olması gibi özelliklere dikkat etmelisin.
  • 💡 Örnek: Üç basamaklı doğal sayılardan seçilenin 5'in katı olan bir tek sayı olması.
    Üç basamaklı sayılar 100 ile 999 arasındadır. 5'in katı olması için son basamak 0 veya 5 olmalı. Tek olması için son basamak 5 olmalı.
    Bu sayılar: 105, 115, ..., 995.
    n(A) = (995 - 105) / 10 + 1 = 890 / 10 + 1 = 89 + 1 = 90.
• Kümenin Belirli Sayıda Elemanı Olan Alt Kümeleri:
  • Yine kombinasyon formülü kullanılır.
  • 💡 Örnek: 7 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı alt küme sayısı: $\binom{7}{3} = 35$.
  • 💡 Örnek: 7 elemanlı bir kümeden 2'den büyük ve 5'ten küçük elemanlı alt küme sayısı (yani 3 veya 4 elemanlı alt kümeler):
    $\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = 35 + 35 = 70$.
  • 💡 Örnek: 7 elemanlı bir kümeden 7 elemanlı alt küme sayısı: $\binom{7}{7} = 1$.
• Geri Atmaksızın Nesne Çekme:
  • Çekilen nesne geri konulmadığında, bir sonraki çekilişte toplam nesne sayısı ve ilgili renk/türdeki nesne sayısı azalır. Bu tür durumlarda da kombinasyon kullanılır.
  • 💡 Örnek: 3 kırmızı, 5 beyaz bilyenin bulunduğu torbadan geri atmaksızın iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin aynı renk olması olayı.
    İki bilye de kırmızı olabilir: $\binom{3}{2} = 3$ durum.
    İki bilye de beyaz olabilir: $\binom{5}{2} = 10$ durum.
    Toplam n(A) = 3 + 10 = 13 durum.
• Zar Çarpımının Tek/Çift Olması:
  • İki sayının çarpımının tek olması için her iki sayının da tek olması gerekir.
  • İki sayının çarpımının çift olması için en az bir sayının çift olması gerekir.
  • 💡 Örnek: İki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların çarpımının tek olması.
    Bir zarın tek gelme olasılığı: {1, 3, 5} → 3 durum.
    İkinci zarın tek gelme olasılığı: {1, 3, 5} → 3 durum.
    n(A) = 3 x 3 = 9 durum. ((1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5))
• Zarlardan Birinin Belirli Bir Sayı Olması:
  • "Birinin 3 olması" ifadesi, "en az birinin 3 olması" anlamına gelir.
  • 💡 Örnek: İki zar atıldığında üst yüze gelen sayılardan birinin 3 olması.
    Birinci zar 3, ikinci zar herhangi bir sayı: (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) → 6 durum.
    İkinci zar 3, birinci zar 3 olmayan herhangi bir sayı: (1,3), (2,3), (4,3), (5,3), (6,3) → 5 durum.
    n(A) = 6 + 5 = 11 durum.
  • ⚠️ Dikkat: (3,3) durumu iki kez sayılmamalıdır, bu yüzden ikinci listede 3'ün dışındaki sayılar alınır.

⚠️ Kritik Noktalar ve İpuçları

• "En az", "En çok", "Sadece": Bu kelimeler olay tanımını tamamen değiştirir. Soruyu dikkatlice oku ve istenen durumu doğru anladığından emin ol.
• Geri Atmalı / Geri Atmasız: Nesnelerin çekiliş sonrası geri konulup konulmadığı, örnek uzayın ve olayın eleman sayılarını doğrudan etkiler. Geri atmalı çekilişlerde durum sayısı değişmezken, geri atmasız çekilişlerde azalır.
• Sıralama mı, Seçim mi? (Permütasyon mu, Kombinasyon mu?):
  • Eğer sıralama önemliyse (örneğin, farklı kişilerin farklı görevlere atanması), permütasyon kullanırsın.
  • Eğer sadece seçim önemliyse (örneğin, bir gruptan belirli sayıda kişi seçmek, yazı/tura durumları), kombinasyon kullanırsın. Bu testteki çoğu olay kombinasyon ile çözülmüştür.
• Liste Yapma: Özellikle zar toplamı gibi durumlarda, tüm olası durumları sistematik bir şekilde listelemek hata yapmanı engeller.
• Sayı Kümeleri Bilgisi: Tek, çift, asal, katlar gibi sayı özelliklerini iyi bilmek, olay kümesinin elemanlarını belirlemede çok yardımcı olur.
• Adım Adım İlerle: Karmaşık sorularda, önce örnek uzayı, sonra istenen olayı ve son olarak eleman sayılarını belirleyerek ilerlemek, çözüm sürecini basitleştirir.

Bu ders notları, olasılık konusundaki temel bilgi ve becerilerini pekiştirmen için hazırlanmıştır. Bol pratik yaparak ve farklı soru tiplerini çözerek konuya hakimiyetini artırabilirsin! Başarılar dileriz! 🚀