🎓 10. Sınıf Tekrarlı Permütasyon Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 10. sınıf müfredatında yer alan tekrarlı permütasyon konusunu ve bu konunun farklı senaryolarda nasıl uygulandığını detaylı bir şekilde ele almaktadır. Özellikle özdeş nesnelerin sıralanması, belirli şartlar altında (bir arada olma, yan yana gelmeme) sıralamalar ve kafes (ızgara) üzerindeki en kısa yol problemleri gibi temel başlıklar üzerinde durulmuştur. Bu notlar, sınav öncesi hızlı bir tekrar yapmanızı ve konuyu pekiştirmenizi sağlayacaktır.

Tekrarlı Permütasyon Nedir?

• Tekrarlı permütasyon, özdeş (aynı) nesnelerin sıralanması durumunda kullanılan bir yöntemdir. Eğer sıralanacak n tane nesne varsa ve bu nesnelerden $n_1$ tanesi birinci türden, $n_2$ tanesi ikinci türden, ..., $n_k$ tanesi k-ıncı türden özdeş ise (yani $n_1 + n_2 + ... + n_k = n$ ise), bu nesnelerin farklı sıralanış sayısı aşağıdaki formülle bulunur:
• Formül: $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$
• Örnek: "KELEBEK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı anlamlı/anlamsız kelime yazılabilir?
  • Toplam harf sayısı (n) = 7
  • K harfi = 2 adet ($n_K = 2$)
  • E harfi = 3 adet ($n_E = 3$)
  • L harfi = 1 adet ($n_L = 1$)
  • B harfi = 1 adet ($n_B = 1$)
  • Sıralama sayısı: $\frac{7!}{2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5040}{2 \cdot 6} = \frac{5040}{12} = 420$
• 💡 İpucu: Özdeş nesneler, sıralamada birbirlerinin yerine geçebildikleri için, sanki tek bir nesneymiş gibi düşünülerek bölme işlemi yapılır.

Şartlı Tekrarlı Permütasyonlar

1. Belirli Nesnelerin Bir Arada Olması Şartı

• Bazı özdeş nesnelerin her zaman yan yana gelmesi isteniyorsa, bu nesneler tek bir blok olarak kabul edilir.
• Bu blok, diğer nesnelerle birlikte sıralanır. Blok içindeki özdeş nesnelerin kendi aralarındaki sıralanışı 1'dir, çünkü özdeşlerdir.
• Örnek: 3 yeşil 🟢, 2 beyaz ⚪ ve 3 turuncu 🟠 bilye var. Turuncu bilyeler bir arada olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?
  • Turuncu bilyeleri bir blok olarak düşünelim: (🟠🟠🟠). Bu bloğu tek bir "T" nesnesi gibi sayarız.
  • Şimdi sıralayacağımız nesneler: 3 yeşil 🟢, 2 beyaz ⚪, 1 turuncu blok (T). Toplam 3+2+1 = 6 nesne var.
  • Bu 6 nesnenin sıralanışı: $\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60$

2. Belirli Nesnelerin Yan Yana Gelmemesi Şartı

• Bazı özdeş nesnelerin yan yana gelmemesi isteniyorsa, genellikle "araya yerleştirme" yöntemi kullanılır.
• Önce yan yana gelmesi istenmeyen nesneler dışındaki diğer nesneler sıralanır.
• Bu sıralama sonucunda oluşan boşluklara (başlangıç, son ve aralar) yan yana gelmesi istenmeyen nesneler yerleştirilir.
• Örnek: 5 yeşil 🟢, 3 beyaz ⚪ ve 2 turuncu 🟠 bilye var. Herhangi iki yeşil bilye yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?
  • Önce yan yana gelmesi istenmeyen yeşil bilyeler dışındaki diğer bilyeleri (3 beyaz ⚪, 2 turuncu 🟠) sıralayalım. Toplam 5 bilye.
  • Bu 5 bilyenin sıralanışı: $\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$ farklı şekilde.
  • Bu sıralamalardan birini düşünelim: ⚪🟠⚪🟠⚪. Bu sıralama 6 boşluk oluşturur: _ ⚪ _ 🟠 _ ⚪ _ 🟠 _ ⚪ _
  • Şimdi 5 adet yeşil 🟢 bilyeyi bu 6 boşluğa, her boşluğa en fazla bir tane gelecek şekilde yerleştirmeliyiz. Bu bir kombinasyon problemidir: $\binom{6}{5} = 6$ farklı şekilde yerleştirilebilir.
  • Toplam durum sayısı: (Diğer bilyelerin sıralanışı) $\times$ (Yeşil bilyelerin boşluklara yerleştirilmesi)
  • Ancak, burada yeşil bilyeler özdeş olduğu için, boşluklara yerleştirme sayısı sadece boşluk seçimi kadardır. Yani 6 boşluktan 5'ini seçip her birine bir yeşil bilye koyarız.
  • Bu durumda, her bir 10 sıralama için 6 farklı boşluk seçimi olduğundan, toplam durum $10 \times 6 = 60$ olur.
• ⚠️ Dikkat: "Yan yana gelmeme" durumlarında, önce diğer nesneleri sıralayıp boşlukları oluşturmak, ardından istenmeyen nesneleri bu boşluklara yerleştirmek genellikle en kolay yoldur.

"En Az" ve "En Çok" İfadeleriyle Permütasyon

• Madeni para atma gibi tekrarlayan olaylarda "en az" veya "en çok" ifadeleriyle karşılaşabiliriz. Bu durumlar genellikle farklı senaryoların toplamını veya tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasını gerektirir.
• "En çok k kez" demek, 0 kez, 1 kez, 2 kez, ..., k kez olması durumlarının toplamı demektir.
• "En az k kez" demek, k kez, k+1 kez, ..., tümü olması durumlarının toplamı demektir. Bu durumda (Tüm durumlar) - (En az k kez olmamasının durumları) formülü daha pratik olabilir.
• Örnek ("En çok" - 6 kez atılan para, en çok 2 kez yazı):
  • Toplam atış sayısı = 6. Her atışta 2 olası sonuç (Yazı/Tura). Toplam durum sayısı $2^6 = 64$.
  • En çok 2 kez yazı gelmesi demek: 0 yazı, 1 yazı veya 2 yazı gelmesi demektir.
  • 0 yazı (6 tura): TTTTTT $\rightarrow \frac{6!}{0! \cdot 6!} = 1$ durum
  • 1 yazı (5 tura): YTTTTT $\rightarrow \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 6$ durum
  • 2 yazı (4 tura): YYTTTT $\rightarrow \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{720}{2 \cdot 24} = 15$ durum
  • Toplam = $1 + 6 + 15 = 22$ durum.
• Örnek ("En az" - 5 kez atılan para, en az 2 kez yazı):
  • Toplam atış sayısı = 5. Toplam durum sayısı $2^5 = 32$.
  • En az 2 kez yazı gelmesi demek: 2 yazı, 3 yazı, 4 yazı veya 5 yazı gelmesi demektir.
  • Alternatif olarak: (Tüm durumlar) - (0 yazı veya 1 yazı gelmesi).
  • 0 yazı (5 tura): TTTTT $\rightarrow \frac{5!}{0! \cdot 5!} = 1$ durum
  • 1 yazı (4 tura): YTTTT $\rightarrow \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5$ durum
  • İstenmeyen durumlar toplamı = $1 + 5 = 6$.
  • En az 2 kez yazı gelen durumlar = $32 - 6 = 26$.

Kafes (Izgara) Üzerinde En Kısa Yol Problemleri

• Bir noktadan başka bir noktaya sadece belirli yönlerde (genellikle sağ ve yukarı) hareket ederek en kısa yoldan ulaşma problemleri, tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür.
• Hedefe ulaşmak için yapılması gereken toplam sağ hareket sayısı (S) ve toplam yukarı hareket sayısı (Y) belirlenir.
• Toplam hareket sayısı $n = S + Y$'dir. Bu, $S$ tane özdeş sağ hareket ve $Y$ tane özdeş yukarı hareketin sıralanması problemine dönüşür.
• Formül: $\frac{(S+Y)!}{S! \cdot Y!}$
• Örnek (A'dan B'ye): 5x5'lik bir kafeste A'dan B'ye en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? (A sol alt, B sağ üst köşe)
  • A'dan B'ye ulaşmak için 5 sağ (S=5) ve 5 yukarı (Y=5) hareket yapmak gerekir.
  • Toplam hareket sayısı = $5+5 = 10$.
  • Farklı yol sayısı: $\frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$

1. Ara Noktadan Geçme Şartı

• Eğer A noktasından B noktasına giderken C gibi bir ara noktadan geçme şartı varsa, yolculuk iki aşamaya ayrılır: A'dan C'ye ve C'den B'ye.
• Her iki aşama için ayrı ayrı yol sayıları hesaplanır ve bu sayılar çarpılır.
• Örnek (A'dan C'ye, C'den B'ye): A'dan C'ye 3 sağ, 2 yukarı; C'den B'ye 2 sağ, 3 yukarı hareket gerekiyorsa.
  • A'dan C'ye yol sayısı: $\frac{(3+2)!}{3! \cdot 2!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$
  • C'den B'ye yol sayısı: $\frac{(2+3)!}{2! \cdot 3!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$
  • Toplam yol sayısı = $10 \times 10 = 100$

2. Belirli Bir Yolu Kullanma Şartı

• Eğer A'dan D'ye giderken [BC] yolunu kullanma şartı varsa, yolculuk A'dan B'ye, B'den C'ye ve C'den D'ye olarak üç aşamaya ayrılır.
• [BC] yolu tek bir hareket (sağ veya yukarı) ise, bu hareketin yol sayısı 1 olarak kabul edilir.
• Örnek: A'dan D'ye giderken [BC] dikey yolunu kullanma şartı olsun.
  • A'dan B'ye yol sayısı hesaplanır.
  • B'den C'ye yol sayısı 1'dir (çünkü bu yolu kullanma şartı var, tek bir hareket).
  • C'den D'ye yol sayısı hesaplanır.
  • Bu üç sayı çarpılır.

3. Yasaklı Yolların Olduğu Durumlar

• Kafes problemlerinde bazı yolların kapalı (yasaklı) olduğu durumlar olabilir.
• Bu tür durumlarda genellikle (Tüm olası yollar) - (Yasaklı yolları kullanan yollar) yöntemi uygulanır.
• Yasaklı yolları kullanan yollar, o yasaklı yoldan geçmek zorunda olan güzergahlar olarak hesaplanır.
• ⚠️ Dikkat: Bazen yasaklı yol, bir noktayı geçilmez kılar. Bu durumda, yasaklı yolu içeren her bir güzergahı ayrı ayrı hesaplayıp toplamdan çıkarmak gerekir. Karmaşık durumlarda, yasaklı noktaları atlayarak doğrudan diğer noktalardan geçişleri hesaplamak da bir yöntem olabilir.

Genel İpuçları ve Dikkat Edilmesi Gerekenler 🧠

• Soruyu Anla: İlk olarak, nesnelerin özdeş mi yoksa farklı mı olduğunu belirle. Bu, permütasyon mu yoksa tekrarlı permütasyon mu kullanacağınıza karar vermenin anahtarıdır.
• Şartları Belirle: "Bir arada olma", "yan yana gelmeme", "en az", "en çok", "belirli bir noktadan geçme" gibi şartları net bir şekilde anla.
• Görselleştir: Özellikle kafes problemlerinde, bir çizim yapmak veya hareketleri (S, Y) sembollerle temsil etmek, problemi daha anlaşılır hale getirir.
• Adım Adım Çöz: Karmaşık problemleri küçük, yönetilebilir parçalara ayır. Her bir parçayı ayrı ayrı çözüp sonuçları birleştir (çarpma yoluyla sayma).
• Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar: Özellikle "en az" veya "yasaklı yol" içeren sorularda bu strateji çok işe yarayabilir. Tüm olası durumları hesaplayıp, istenmeyen durumları çıkararak sonuca ulaşmak daha kolay olabilir.
• Faktöriyel Hesaplamalarına Dikkat: Büyük faktöriyel değerlerini sadeleştirirken dikkatli ol. Örneğin, $\frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8$'dir.
• Pratik Yap: Farklı soru tipleri üzerinde bolca pratik yapmak, konuyu pekiştirmenin ve hız kazanmanın en iyi yoludur.