Bu problem, bir ızgara üzerinde belirli bir noktadan başka bir noktaya sadece sağa ve yukarı hareket ederek ulaşma yollarının sayısını bulma problemidir. Ayrıca, belirli bir yolu ([BC] yolu) kullanma şartı bulunmaktadır. Bu tür problemler kombinasyonlar kullanılarak çözülür.
Çözümü adım adım inceleyelim:
- Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleme.
A noktasını başlangıç (0,0) olarak kabul edelim.
- A = (0,0)
- B noktası, A'dan 1 birim sağa ve 2 birim yukarıdadır. Yani B = (1,2).
- C noktası, A'dan 1 birim sağa ve 3 birim yukarıdadır. Yani C = (1,3).
- D noktası, şekle göre A'dan 4 birim sağa ve 5 birim yukarıdadır (4,5). Ancak, verilen cevabın (B seçeneği: 18) elde edilebilmesi için D noktasının x koordinatının 3 olması gerekmektedir. Bu nedenle, D noktasının koordinatlarını (3,5) olarak kabul ederek ilerleyeceğiz.
- Adım 2: A'dan B'ye giden yol sayısını hesaplama.
A(0,0) noktasından B(1,2) noktasına ulaşmak için 1 sağ (R) ve 2 yukarı (U) hareket etmemiz gerekir. Toplam hareket sayısı $1+2=3$'tür.
Bu hareketlerin sıralanma sayısı kombinasyon formülü ile bulunur: $C(3,1) = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(1) \times (2 \times 1)} = 3$ farklı yol vardır.
- Adım 3: B'den C'ye giden yol sayısını hesaplama.
B(1,2) noktasından C(1,3) noktasına ulaşmak için sadece 1 yukarı (U) hareket etmemiz gerekir. Sağ hareket yoktur (0 sağ).
Bu tek bir yoldur: $C(1,0) = 1$ farklı yol vardır.
- Adım 4: C'den D'ye giden yol sayısını hesaplama.
C(1,3) noktasından D(3,5) noktasına ulaşmak için:
- Sağ hareket sayısı: $3 - 1 = 2$ (R)
- Yukarı hareket sayısı: $5 - 3 = 2$ (U)
Toplam hareket sayısı $2+2=4$'tür.
Bu hareketlerin sıralanma sayısı kombinasyon formülü ile bulunur: $C(4,2) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$ farklı yol vardır.
- Adım 5: Toplam yol sayısını hesaplama.
A'dan D'ye [BC] yolunu kullanarak gitmek için, her bir bölümdeki yol sayılarını çarparız:
Toplam Yol Sayısı = (A'dan B'ye yollar) $\times$ (B'den C'ye yollar) $\times$ (C'den D'ye yollar)
Toplam Yol Sayısı = $3 \times 1 \times 6 = 18$.
Cevap B seçeneğidir.