🎓 10. Sınıf Tekrarlı Permütasyon Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 10. sınıf müfredatında yer alan "Tekrarlı Permütasyon" konusunu kapsamlı bir şekilde ele almaktadır. Kelimelerin harfleriyle, sayıların rakamlarıyla veya günlük hayattan nesnelerle ilgili sıralama problemlerini çözerken karşınıza çıkabilecek temel senaryoları ve özel durumları içermektedir. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınız için mükemmel bir rehber olacaktır. 🚀

Tekrarlı Permütasyon Nedir? 🤔

Tekrarlı permütasyon, n tane nesnenin sıralanmasında, bu nesnelerden bazılarının özdeş (aynı) olması durumunda kullanılan bir yöntemdir. Eğer n tane nesne içinde $n_1$ tanesi birinci türden, $n_2$ tanesi ikinci türden, ..., $n_k$ tanesi k. türden özdeş ise (ve $n_1 + n_2 + ... + n_k = n$ ise), bu nesnelerin farklı sıralanışlarının sayısı aşağıdaki formülle bulunur:

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$

• Örnek: "KELEBEK" kelimesinin harfleriyle 7 harfli anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? Toplam harf sayısı (n) = 7. Tekrar eden harfler: K (2 tane), E (3 tane), L (1 tane), B (1 tane). Cevap: $\frac{7!}{2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5040}{2 \cdot 6} = \frac{5040}{12} = 420$

Özel Durumlar ve Uygulamalar 💡

1. Belirli Harflerin/Rakamların Yan Yana Olması Koşulu 🤝

Eğer belirli harflerin veya rakamların her zaman yan yana olması isteniyorsa, bu elemanları bir "blok" olarak düşünün. Bu bloğu tek bir eleman gibi kabul ederek permütasyon hesaplaması yapın. Daha sonra, bu blok içindeki elemanların kendi aralarındaki sıralanışını (eğer farklı elemanlarsa) çarpım olarak ekleyin. Ancak tekrarlı permütasyonda blok içindeki elemanlar özdeşse, blok içi sıralama 1'dir.

• Örnek: "ANANAS" kelimesinin harfleriyle, tüm A'ların yan yana olduğu kaç farklı kelime yazılabilir? Kelime: ANANAS (n=6). Tekrar edenler: A (3 tane), N (2 tane), S (1 tane). Koşul: Tüm A'lar yan yana olsun. Yani (AAA) bir blok. Yeni elemanlar: (AAA), N, N, S. Toplam 4 eleman. Bu 4 elemanın sıralanışı: $\frac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{24}{2} = 12$ (N'ler tekrar ediyor). (AAA) bloğunun kendi içindeki sıralanışı: $\frac{3!}{3!} = 1$ (A'lar özdeş olduğu için). Cevap: $12 \cdot 1 = 12$

2. Belirli Harflerin/Rakamların Belirli Bir Sırayla Gelmesi Koşulu (Hemen Sonra) ➡️

Bir harfin/rakamın hemen ardından başka bir harfin/rakamın gelmesi isteniyorsa, bu ikiliyi yine bir "blok" olarak kabul edin. Bu bloğu tek bir eleman gibi düşünerek permütasyon hesaplaması yapın.

• Örnek: "MATEMATİK" kelimesinin harfleriyle, M'den hemen sonra A'nın geldiği kaç farklı kelime yazılabilir? Kelime: MATEMATİK (n=9). Tekrar edenler: M (2 tane), A (2 tane), T (2 tane), E (1 tane), İ (1 tane), K (1 tane). Koşul: MA yan yana ve bu sırayla. Yani (MA) bir blok. Yeni sıralanacak elemanlar: (MA), M, A, T, T, E, İ, K. Toplam 8 eleman. Kalan M (1 tane), A (1 tane), T (2 tane), E (1 tane), İ (1 tane), K (1 tane) olduğu için bu 8 elemanın sıralanışı: $\frac{8!}{1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$

3. Belirli Harflerin/Rakamların Başlangıçta veya Sonda Sabit Olması Koşulu 📍

Eğer bazı harflerin veya rakamların belirli pozisyonlarda (örneğin kelimenin başında veya sonunda) sabit olması isteniyorsa, bu elemanları yerleştirdikten sonra kalan elemanları ve kalan pozisyonları kullanarak tekrarlı permütasyon hesaplaması yapın.

• Örnek: "KİTAPLIK" kelimesinin harfleriyle K ile başlayıp P ile biten kaç farklı kelime yazılabilir? Kelime: KİTAPLIK (n=8). Tekrar edenler: K (2 tane), İ (2 tane), T (1 tane), A (1 tane), P (1 tane), L (1 tane). Koşul: K ile başlasın, P ile bitsin. K _ _ _ _ _ _ P. Kalan harfler: İ, T, A, L, K, İ. Toplam 6 harf. Kalan harfler arasında tekrar edenler: İ (2 tane), K (1 tane), T (1 tane), A (1 tane), L (1 tane). Bu 6 harfin sıralanışı: $\frac{6!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2} = 360$

4. Rakamlarla Oluşturulan Sayılar ve Sıfır Problemi 🔢

Rakamları kullanarak sayılar oluştururken, tekrarlı permütasyon formülü uygulanır. Ancak, sayının ilk basamağına 0 gelme durumuna dikkat etmek gerekir. Bir sayı 0 ile başlayamaz!

• Yöntem 1 (Tümünden Sıfırla Başlayanları Çıkarma): Tüm rakamları kullanarak (sıfırın başta olabileceği durumlar dahil) toplam permütasyon sayısını bulun. Sıfırın ilk basamakta olduğu durumları hesaplayın (ilk basamağa 0'ı sabitleyip kalan rakamları permüte edin). Toplam permütasyon sayısından, sıfırla başlayan permütasyon sayısını çıkarın.
• Yöntem 2 (Oran Yöntemi): Tüm rakamları kullanarak toplam permütasyon sayısını bulun. Bu sayıyı, sıfır dışındaki rakamların toplam rakam sayısına oranını çarparak bulun. Örneğin, 7 rakamdan 2 tanesi 0 değilse, $\text{Toplam Permütasyon} \times \frac{\text{Sıfır Olmayan Rakam Sayısı}}{\text{Toplam Rakam Sayısı}}$.
• Örnek: 1100022 rakamlarıyla 7 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? Toplam rakam sayısı (n) = 7. Tekrar edenler: 1 (2 tane), 0 (3 tane), 2 (2 tane). Tüm permütasyonlar: $\frac{7!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{5040}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210$. Sıfırla başlayanlar: İlk basamağa bir 0 sabitleyelim. Kalan rakamlar: 1, 1, 0, 0, 2, 2. (n=6). Tekrar edenler: 1 (2 tane), 0 (2 tane), 2 (2 tane). Sıfırla başlayan permütasyonlar: $\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{8} = 90$. Geçerli sayılar: $210 - 90 = 120$.

5. Bölünebilme Kuralları ile Birleştirilmiş Tekrarlı Permütasyon 🎯

Sayıların belirli bir kurala göre (örneğin 5 ile bölünebilme) sıralanması istendiğinde, öncelikle bu kuralı sağlayan son basamakları belirleyin ve her bir durum için ayrı ayrı tekrarlı permütasyon hesaplaması yapın.

• Örnek: 12345 rakamlarıyla 5 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? (Tekrarlı permütasyon olmasa da mantık benzer). Çift sayılar 2 veya 4 ile biter. Durum 1: Sayı 2 ile bitiyor. _ _ _ _ 2. Kalan rakamlar 1, 3, 4, 5. Bunların sıralanışı: $4! = 24$. Durum 2: Sayı 4 ile bitiyor. _ _ _ _ 4. Kalan rakamlar 1, 2, 3, 5. Bunların sıralanışı: $4! = 24$. Toplam: $24 + 24 = 48$.
• ⚠️ Dikkat: Rakamlar arasında 0 varsa ve sayı 0 ile bitiyorsa, bu durumda ilk basamağa 0 gelme problemi olmaz. Ancak sayı 5 ile bitiyorsa ve rakamlar arasında 0 varsa, ilk basamağa 0 gelme durumunu yine çıkarmalısınız.

6. Gerçek Hayat Problemlerine Uygulama 🌍

Tekrarlı permütasyon, sadece harf ve rakamlarla sınırlı değildir. Günlük hayattaki birçok sıralama probleminde de karşımıza çıkar. Önemli olan, problemi tekrarlı permütasyon yapısına dönüştürebilmektir.

• Örnek (Yüzük Çıkarma): Aslı'nın baş parmağında 2, şehadet parmağında 2, orta parmağında 1 yüzük var. Her seferinde bir yüzük çıkarmak şartıyla ve parmaktaki iki yüzük olduğunda önce üstteki çıkarılmak üzere, yüzüklerin tamamını kaç farklı şekilde çıkarabilir? Bu problemde, hangi parmaktan yüzük çıkarıldığı sırası önemlidir. Baş parmaktan çıkarılan yüzükler (B, B), şehadet parmağından çıkarılanlar (Ş, Ş), orta parmaktan çıkarılan (O). Toplam 5 olay (yüzük çıkarma). Tekrar eden olaylar: B (2 tane), Ş (2 tane), O (1 tane). Cevap: $\frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{4} = 30$
• Örnek (Atış Poligonu): Ahmet'in 9 atışı var ve 3 farklı hedefe (Yeşil, Gri, Turuncu) isabet ettiriyor. 3 atış Yeşil'e, 2 atış Gri'ye, 4 atış Turuncu'ya isabet ettiyse, bu atışların sırası kaç farklı şekilde olabilir? Toplam 9 atış. Tekrar eden atış sonuçları: Yeşil (3 tane), Gri (2 tane), Turuncu (4 tane). Cevap: $\frac{9!}{3! \cdot 2! \cdot 4!} = \frac{362880}{6 \cdot 2 \cdot 24} = \frac{362880}{288} = 1260$
• Örnek (Boncuk Çıkarma): Bir abaküste 4 kırmızı, 2 yeşil, 1 mor, 3 mavi boncuk var. Her seferinde bir boncuk almak şartıyla (her çubuktan en üstteki boncuk alınır), boncuklar kaç farklı şekilde çıkarılabilir? Toplam 10 boncuk. Tekrar eden boncuk türleri: Kırmızı (4 tane), Yeşil (2 tane), Mor (1 tane), Mavi (3 tane). Cevap: $\frac{10!}{4! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 3!} = \frac{3628800}{24 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6} = \frac{3628800}{288} = 12600$. Seçeneklerdeki formata uygun olarak: $12600 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$

⚠️ Kritik Noktalar ve İpuçları 💡

• Harfleri/Rakamları Doğru Sayın: İlk adım, verilen kelimedeki veya sayıdaki tüm harfleri/rakamları ve bunların kaçar kez tekrar ettiğini doğru bir şekilde belirlemektir.
• Blok Oluşturma: "Yan yana", "hemen sonra", "ile başlar/biter" gibi koşullarda, ilgili elemanları bir blok olarak düşünmek problemi basitleştirir. Bloğu tek bir birim olarak saymayı unutmayın.
• Sıfırın Başlangıç Sorunu: Rakamlarla sayı oluşturma problemlerinde, sıfırın en başa gelme durumunu her zaman kontrol edin ve bu durumları toplamdan çıkarın.
• Özdeş Elemanların Kendi Arasındaki Sıralanışı: Bir blok içindeki elemanlar özdeş ise, kendi aralarındaki sıralanışları 1'dir ($\frac{n!}{n!} = 1$). Farklı elemanlarsa, onların permütasyonunu da hesaba katın.
• Problem Çözme Stratejisi: Toplam eleman sayısını (n) belirle. Tekrar eden elemanları ve tekrar sayılarını ($n_1, n_2, ...$) belirle. Varsa özel koşulları (yan yana, başta/sonda, sıfır problemi vb.) analiz et. Gerektiğinde elemanları "blok" haline getirerek yeni eleman setini oluştur. Formülü doğru bir şekilde uygula.
• Faktöriyel Hesaplamalarına Dikkat: Özellikle büyük faktöriyellerde veya sadeleştirmelerde işlem hatası yapmamaya özen gösterin.

Bu ders notu, tekrarlı permütasyon konusundaki temel bilgileri ve sık karşılaşılan problem tiplerini özetlemektedir. Bol pratik yaparak konuyu pekiştirmeyi unutmayın! Başarılar dileriz! ✨