Sorunun Çözümü
- Verilen 22550003 sayısının rakamları: üç adet 0, iki adet 2, bir adet 3, iki adet 5. Toplam 8 rakam vardır.
- Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının 0 veya 5 olması gerekir. Ayrıca, sekiz basamaklı olması için ilk rakam 0 olamaz.
- Durum 1: Son rakam 0'dır.
- Son basamağa bir adet 0 yerleştirilir. Kalan rakamlar: 2, 2, 5, 5, 0, 0, 3. (7 rakam)
- Bu 7 rakamın kendi aralarındaki tüm permütasyonları: $\frac{7!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{8} = 630$.
- Bu permütasyonlardan ilk basamağı 0 olanları çıkarılmalıdır. İlk basamağı 0 ve son basamağı 0 olan durumda kalan rakamlar: 2, 2, 5, 5, 0, 3. (6 rakam)
- Bu 6 rakamın permütasyonları: $\frac{6!}{2! \cdot 2!} = \frac{720}{4} = 180$.
- Sonu 0 olan ve ilk basamağı 0 olmayan sayı adedi: $630 - 180 = 450$.
- Durum 2: Son rakam 5'tir.
- Son basamağa bir adet 5 yerleştirilir. Kalan rakamlar: 2, 2, 5, 0, 0, 0, 3. (7 rakam)
- Bu 7 rakamın kendi aralarındaki tüm permütasyonları: $\frac{7!}{3! \cdot 2!} = \frac{5040}{12} = 420$.
- Bu permütasyonlardan ilk basamağı 0 olanları çıkarılmalıdır. İlk basamağı 0 ve son basamağı 5 olan durumda kalan rakamlar: 2, 2, 5, 0, 0, 3. (6 rakam)
- Bu 6 rakamın permütasyonları: $\frac{6!}{2! \cdot 2!} = \frac{720}{4} = 180$.
- Sonu 5 olan ve ilk basamağı 0 olmayan sayı adedi: $420 - 180 = 240$.
- 5 ile tam bölünen toplam sayı adedi: $450 + 240 = 690$.
- Doğru Seçenek D'dır.