🎓 10. Sınıf Permütasyon Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Merhaba sevgili 10. sınıf öğrencileri! Bu ders notu, "10. Sınıf Permütasyon Test 2"deki soruları temel alarak, permütasyon konusundaki bilgi ve becerilerinizi pekiştirmek amacıyla hazırlanmıştır. Test, permütasyonun temel prensiplerinden başlayarak, farklı şartlar altında sıralama yöntemlerini (gruplama, boşluk bırakma, belirli konumlar, göreceli sıra) ve özel problem türlerini (ızgara, tablo yerleştirme) kapsamaktadır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınızı yaparken size rehberlik edecektir.

1. Permütasyonun Temel Prensibi

• n farklı nesnenin düz bir sıraya sıralanması: n! (n faktöriyel) farklı şekilde yapılabilir. Örneğin, 3 farklı kitap 3! = 3 × 2 × 1 = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
• Çarpma Prensibi: Bir olay, farklı aşamalardan oluşuyorsa, her aşamadaki seçenek sayılarının çarpımı, olayın toplam farklı gerçekleşme sayısını verir. Örneğin, 3 farklı gömlek ve 2 farklı pantolon arasından bir kombinasyon seçmek 3 × 2 = 6 farklı şekilde yapılabilir.

2. Şartlı Sıralamalar ve Özel Durumlar

2.1. Belirli Nesnelerin Yan Yana Olması (Gruplama Yöntemi)

Yan yana olması istenen nesneleri tek bir "blok" veya "grup" gibi düşünülür. Önce bu bloğu ve diğer nesneleri sırala, sonra bloğun içindeki nesnelerin kendi aralarındaki sıralamasını çarp.

• Örnek: 3 kız öğrencinin her zaman yan yana olduğu 5 kişilik bir sıradaki sıralama. Kızları bir blok (K) olarak düşün. Geriye kalan 2 kişi (Ö1, Ö2) ile birlikte (K, Ö1, Ö2) 3! farklı şekilde sıralanır. Kızlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanabilir. Toplam: 3! × 3! = 6 × 6 = 36.

💡 İpucu: İç sıralamayı (blok içindeki nesnelerin kendi aralarındaki sıralamasını) çarpmayı unutma!

2.2. Belirli Nesnelerin Yan Yana Gelmemesi (Boşluk Bırakma Yöntemi)

Yan yana gelmesi istenmeyen nesnelerin dışındaki diğer nesneleri önce sırala. Bu sıralama sonucunda oluşan boşluklara, yan yana gelmesi istenmeyen nesneleri yerleştir.

• Örnek: 3 erkek öğrencinin yan yana gelmemesi şartıyla 5 kız ve 3 erkek öğrencinin sıralanması. Önce 5 kızı sırala: 5!. Kızların aralarında ve uçlarında 6 boşluk oluşur (_ K _ K _ K _ K _ K _). Bu 6 boşluktan 3'ünü seçip erkekleri yerleştir: P(6,3) = 6 × 5 × 4 = 120. Toplam: 5! × P(6,3) = 120 × 120 = 14400.

⚠️ Dikkat: Eğer iki grubun eleman sayıları eşitse (örn: 5 kız, 5 erkek), iki farklı başlangıç durumu (K-E-K-E... veya E-K-E-K...) olabilir ve her ikisi de hesaba katılmalıdır. Eğer eleman sayıları farklıysa (örn: 5 kız, 4 erkek), büyük olan grubun elemanları başta ve sonda olmak zorundadır (K-E-K-E-K-E-K-E-K).

2.3. Belirli Nesnelerin Arasında Sadece Bir Nesnenin Olması

Arasında nesne olması istenen iki kişiyi ve aradaki nesneyi bir "blok" olarak düşün. Bu bloğun içindeki nesnelerin kendi aralarındaki sıralamasını ve eğer aradaki nesne seçilebilir bir grup içinden geliyorsa, o nesnenin seçimini de hesaba kat.

• Örnek: Anne ile babanın arasında sadece bir çocuğun olduğu 6 kişilik bir aile sıralaması.
  1. Anne ve baba arasına gelecek çocuğu seç: 4 çocuktan 1'i (C(4,1) = 4 farklı seçim).
  2. Anne-Çocuk-Baba bloğunu oluştur: (A Ç B). Bu blok kendi içinde (A Ç B) veya (B Ç A) şeklinde 2! = 2 farklı şekilde sıralanabilir.
  3. Bu bloğu ve kalan 3 çocuğu sırala: (AÇB), Ç1, Ç2, Ç3. Bu 4 birim 4! farklı şekilde sıralanır.
  Toplam: 4 (çocuk seçimi) × 2 (anne-baba sıralaması) × 4! (blok ve diğerlerinin sıralaması) = 4 × 2 × 24 = 192.

💡 İpucu: Bloğun içindeki elemanların yer değiştirmesi (örn: A-X-B veya B-X-A) ve X'in kim olabileceği önemlidir.

2.4. Belirli Nesnelerin Belirli Konumlarda Olması

Öncelikle sabitlenmiş konumları doldur. Bu konumlar için kaç farklı nesne seçilebileceğini ve bu nesnelerin kendi aralarındaki sıralamasını belirle. Ardından kalan nesneleri kalan boşluklara sırala.

• Örnek: 7 doktor ve 4 mühendisin olduğu bir sırada, sıranın iki ucunda doktorların olması.
  1. İlk uca doktor seç ve yerleştir: 7 doktordan 1'i (P(7,1) = 7).
  2. Son uca doktor seç ve yerleştir: Kalan 6 doktordan 1'i (P(6,1) = 6).
  3. Kalan 9 kişiyi (5 doktor, 4 mühendis) aradaki 9 boşluğa sırala: 9!.
  Toplam: 7 × 6 × 9! = 42 × 9!.

2.5. Belirli Nesnelerin Göreceli Sırasının Sabit Olması

Eğer bir grup nesnenin kendi aralarındaki belirli bir sıraya göre dizilmesi isteniyorsa (örn: A, B'den önce gelmeli), bu nesneleri başlangıçta özdeş kabul edip tüm sıralamayı yap. Sonra bu özdeş nesnelerin kendi aralarındaki tüm sıralama sayısına böl.

• Örnek: 8 kişi arasında Ercan'ın Ahmet ile Selim'in arasında olduğu sıralamalar.
  1. Toplam 8 kişi 8! farklı şekilde sıralanabilir.
  2. Ahmet, Ercan, Selim (A, E, S) kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
  3. Bu 6 sıralamadan sadece 2'si (A E S veya S E A) Ercan'ın Ahmet ile Selim'in arasında olmasını sağlar. Ancak daha basit bir yöntem, A, E, S'nin kendi aralarındaki 3! sıralamanın 1/3'ünde Ercan ortada olacaktır. (A E S, S E A, A S E, E A S, E S A, S A E). Yani 2/6 = 1/3 oranında.
  4. Dolayısıyla, tüm sıralamaları 3'e bölerek bu şartı sağlayan durumları buluruz: 8! / 3.

💡 İpucu: n nesnenin göreceli sırası sabitse, toplam sıralama sayısını n!'e bölmek, istenen sıranın tüm olası sıralamalara eşit dağıldığı varsayımına dayanır.

3. Izgara ve Tablo Üzerinde Permütasyon

3.1. Izgara Üzerinde Yol Sayma

Genellikle sadece belirli yönlerde (sağ, aşağı) ilerleyerek bir noktadan diğerine ulaşma yollarını sayma. Karmaşık ızgaralarda her bir kesişim noktasındaki yol sayısını belirleyerek ilerlenebilir.

⚠️ Dikkat: Geri dönüş veya aynı yolu tekrar kullanma kısıtlamalarına dikkat et. Her adımda sadece ileriye doğru hareket etme prensibi önemlidir.

3.2. Şartlı Tablo Yerleştirme

Bir tabloya nesneleri yerleştirirken, satır veya sütun toplamları gibi ek mantıksal şartlar olabilir. Bu tür durumlarda, önce şartı sağlayan yerleşim düzenini belirle, sonra nesnelerin bu yerlere kaç farklı şekilde yerleşebileceğini hesapla.

• Örnek: 4x4 bir tabloya sayıların yerleştirilmesi ve her satır/sütun toplamının tek sayı olması.
  1. Toplamın tek olması için, her satırda/sütunda tek sayıda tek sayı bulunmalıdır.
  2. Eğer toplamda sınırlı sayıda tek sayı varsa (örn: 4 tek sayı), bu durumda her satır ve sütunda tam olarak birer tek sayı bulunması gerekir.
  3. Bu, satrançtaki kalelerin yerleşimi gibi düşünülebilir: 4! farklı şekilde satırlara/sütunlara tek sayıların yerleri seçilir.
  4. Seçilen bu 4 yere tek sayıları (örn: 1, 3, 5, 7) 4! farklı şekilde yerleştirilir.
  5. Kalan boşluklara diğer sayılar (örn: 2'ler) tek şekilde yerleşir.
  Toplam: 4! × 4! = 24 × 24 = 576.

💡 İpucu: Tek/çift (parity) kuralları gibi matematiksel özellikler, yerleşim seçeneklerini büyük ölçüde kısıtlayabilir. Bu tür mantıksal çıkarımlar, problemin çözümünde anahtar rol oynar.

4. Çok Aşamalı Problemler

Birçok permütasyon problemi, farklı kuralların bir arada uygulandığı birden fazla aşamadan oluşur. Her aşamayı ayrı ayrı çözüp sonuçları çarpma prensibiyle birleştir. Örneğin, önce bir nesnenin yerini belirle, sonra diğer nesneleri grupla, sonra da kalanları sırala.

Genel İpuçları ve Hata Önleme

• Problemi Dikkatlice Oku: Tüm şartları ve kısıtlamaları tam olarak anladığından emin ol. Bir kelime bile çözüm yolunu değiştirebilir.
• Parçalara Ayır: Büyük ve karmaşık problemleri daha küçük, yönetilebilir parçalara ayırarak adım adım çöz.
• "Ve" ve "Veya" Bağlaçları: "Ve" kelimesi genellikle çarpma işlemini, "Veya" kelimesi ise toplama işlemini işaret eder.
• Faktöriyel Hesaplamaları: Faktöriyel değerlerini (özellikle 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720 gibi sık kullanılanları) doğru ve hızlı bir şekilde hesapla.
• İç Sıralamayı Unutma: Özellikle "yan yana gelme" veya "arasında olma" gibi durumlarda, nesnelerin kendi aralarındaki sıralamalarını (iç sıralama) hesaba katmayı unutma.
• Görselleştirme: Karmaşık problemleri (özellikle ızgara veya yerleştirme sorularını) bir çizim yaparak veya şematize ederek anlamaya çalışmak, çözüm yolunu netleştirebilir.

Bu ders notları, permütasyon konusundaki farklı problem türlerine yaklaşımınızı güçlendirecek ve sınavda başarılı olmanıza yardımcı olacaktır. Bol pratik yaparak konuları pekiştirmeyi unutmayın!