🎓 9. Sınıf Ebob - Ekok Test 5 (Ebob Ekok Problemleri) - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 9. sınıf matematik müfredatının önemli konularından biri olan En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) kavramlarını ve bu kavramların problem çözümlerindeki uygulamalarını kapsamaktadır. Özellikle günlük hayattan örneklerle zenginleştirilmiş, kalanlı bölme durumlarını içeren ve hacimsel problemleri ele alan bir test için hazırlanmıştır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınızı yapmanız ve sıkça yapılan hatalardan kaçınmanız için size rehberlik edecektir. 🚀

1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen) Nedir ve Ne Zaman Kullanılır?

• Tanım: İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
• Hesaplama: Sayıları asal çarpanlarına ayırarak, ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanları çarparak bulunur.
• Kullanım Alanları:
  • Büyük bir bütünü, birbirine karıştırılmadan, eşit ve en büyük parçalara ayırma problemlerinde kullanılır. Örneğin, farklı miktarlardaki ürünleri eşit hacimli çuvallara doldurmak.
  • Dikdörtgen veya prizma şeklindeki bir alanı/hacmi, kare veya küp şeklinde en büyük eş parçalara bölme durumlarında.
  • "En büyük", "en uzun", "en geniş" gibi ifadelerle birlikte "eşit parçalara ayırma" veya "bölme" anlamı taşıyan sorularda EBOB ararız.
  • Bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla fidan dikme veya direk dikme gibi durumlarda, aralık mesafesini bulmak için EBOB kullanılır.
• Örnek: 16 metre ve 12 metre kenar uzunluklarına sahip dikdörtgen şeklindeki bir bahçeyi kare parsellere ayırırken, bir parselin kenar uzunluğu EBOB(16, 12) = 4 metre olmalıdır. Böylece en büyük kare parseller elde edilir ve en az sayıda parsel oluşur.

⚠️ Dikkat: "En az" kelimesi EBOB problemlerinde genellikle en büyük parçayı bulup, toplam parça sayısını en aza indirmek için kullanılır. 💡

2. EKOK (En Küçük Ortak Kat) Nedir ve Ne Zaman Kullanılır?

• Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif tam sayıdır.
• Hesaplama: Sayıları asal çarpanlarına ayırarak, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanları çarparak bulunur.
• Kullanım Alanları:
  • Farklı zaman aralıklarında gerçekleşen olayların ne zaman tekrar bir araya geleceğini bulma problemlerinde. Örneğin, zillerin birlikte çalması, otobüslerin aynı anda kalkması.
  • Küçük parçalardan birleştirilerek daha büyük bir bütün oluşturma durumlarında. Örneğin, dikdörtgenler prizması şeklindeki kutuları birleştirerek bir küp oluşturmak.
  • "Birlikte", "aynı anda", "en küçük", "en az" gibi ifadelerle birlikte "birleşme" veya "tekrar etme" anlamı taşıyan sorularda EKOK ararız.
  • Belirli sayılara bölündüğünde aynı kalanı veren sayıları bulma.
• Örnek: Bir zil 12 dakikada, diğeri 18 dakikada bir çalıyorsa, ikisi birlikte EKOK(12, 18) = 36 dakika sonra tekrar çalar.

💡 İpucu: "En küçük" kelimesi EKOK problemlerinde doğrudan en küçük ortak katı bulmak için kullanılır. "En az" kelimesi ise bir bütün oluşturmak için gereken minimum parça sayısını bulmak amacıyla EKOK ile birlikte kullanılabilir. 🤔

3. Kalanlı EBOB ve EKOK Problemleri

• EKOK ve Sabit Kalan: Bir sayıya bölündüğünde hep aynı kalanı veren en küçük sayıyı bulmak için önce sayıların EKOK'u bulunur, sonra bu kalanı EKOK'a eklenir.
  Örnek: 6, 8 ve 10'a bölündüğünde her seferinde 4 kalanını veren en küçük sayı: EKOK(6, 8, 10) + 4.
• EKOK ve Farklı Kalanlar (Sabit Fark): Eğer sayılar farklı kalanlar veriyor, ancak bölen ile kalan arasındaki fark sabit ise, bu farkı EKOK'tan çıkarırız.
  Örnek: 5'e bölündüğünde 2, 6'ya bölündüğünde 3, 10'a bölündüğünde 7 kalanını veren bir sayı arıyorsak:
  • 5 - 2 = 3
  • 6 - 3 = 3
  • 10 - 7 = 3
  Fark sabit olduğu için, aranan sayı EKOK(5, 6, 10) - 3 şeklinde bulunur.
• EBOB ve Kalan: Bir sayıyı böldüğümüzde belirli bir kalan veriyorsa, önce o kalanı sayıdan çıkarırız. Daha sonra kalan sayıların EBOB'unu buluruz. Bu, EBOB'un kalansız bölme prensibine dayanır.

⚠️ Dikkat: Kalanlı problemlerde, kalanın eklenip çıkarılacağı yeri doğru belirlemek çok önemlidir. Sabit kalan varsa EKOK'a ekle, sabit fark varsa EKOK'tan çıkar. 🧐

4. EBOB ve EKOK'un Hacim Problemlerinde Kullanımı

• Küçük Prizmalardan Büyük Küp Oluşturma (EKOK): Farklı boyutlardaki dikdörtgenler prizması şeklindeki kutuları birleştirerek en küçük hacimli bir küp oluşturulmak istendiğinde, küpün bir kenar uzunluğu, prizmanın kenar uzunluklarının EKOK'u olur.
  Örnek: Boyutları 4 cm, 5 cm ve 6 cm olan kutulardan küp oluşturmak için küpün kenarı EKOK(4, 5, 6) = 60 cm olmalıdır. Gereken kutu sayısı ise büyük küpün hacminin, küçük kutunun hacmine bölünmesiyle bulunur: $\frac{EKOK(a,b,c)^3}{a \cdot b \cdot c}$.
• Büyük Prizmayı Küçük Küplere Ayırma (EBOB): Dikdörtgenler prizması şeklindeki bir hacmi, boşluk kalmayacak şekilde en büyük hacimli eş küplere ayırmak istendiğinde, küpün bir kenar uzunluğu, prizmanın kenar uzunluklarının EBOB'u olur.
  Örnek: Boyutları 9 m, 12 m ve 15 m olan bir prizmayı küplere ayırmak için küpün kenarı EBOB(9, 12, 15) = 3 m olmalıdır. Gereken küp sayısı ise büyük prizmanın hacminin, küçük küpün hacmine bölünmesiyle bulunur: $\frac{a \cdot b \cdot c}{EBOB(a,b,c)^3}$.

💡 İpucu: Hacim problemlerinde "birleştirme" kelimesi genellikle EKOK'u, "ayırma" veya "bölme" kelimesi ise EBOB'u işaret eder. 📦

5. Belirli Bir Aralıktaki Ortak Katları Bulma

• İki veya daha fazla sayıya tam bölünebilen, belirli bir aralıktaki sayıları bulmak için öncelikle bu sayıların EKOK'u bulunur.
• Daha sonra, bulunan EKOK'un katları, verilen aralık içinde sayılır.
  Örnek: 6 ve 9 ile tam bölünebilen 340'tan küçük kaç doğal sayı vardır? Önce EKOK(6, 9) = 18 bulunur. Sonra 18'in 340'tan küçük katları (18, 36, ..., 324) sayılır. Bu katların sayısı $\frac{340}{18}$ işleminin tam kısmına eşittir (18 adet). (0'ı da kat olarak sayabiliriz, soruya göre değişir. Doğal sayı dediği için 0 da dahildir, yani 18+1=19 adet.)

6. Genel Problem Çözme İpuçları

• Anahtar Kelimeler: Sorudaki "en az", "en çok", "birlikte", "eşit parçalar", "kalan", "birleştirme", "ayırma" gibi kelimelere dikkat edin. Bu kelimeler size EBOB mu EKOK mu kullanacağınız konusunda ipucu verecektir.
• Büyükten Küçüğe mi, Küçükten Büyüğe mi? Eğer büyük bir nesneyi (kumaş, bahçe, prizma) küçük ve eşit parçalara ayırıyorsanız EBOB kullanırsınız. Eğer küçük nesneleri (kutular, zillerin çalma süreleri) birleştirerek daha büyük bir bütün oluşturuyorsanız veya bir sonraki ortak noktayı arıyorsanız EKOK kullanırsınız.
• Asal Çarpanlara Ayırma: EBOB ve EKOK hesaplamalarının temelidir. Bu yöntemi iyi kavramak, karmaşık sayıların bile EBOB ve EKOK'unu kolayca bulmanızı sağlar.
• Adım Adım Çözüm: Özellikle çok adımlı problemlerde (örneğin, önce yüzde hesaplama, sonra EBOB), her adımı dikkatlice uygulayın ve ara sonuçları kontrol edin.
• Basamak Sınırlamaları: "Üç basamaklı en küçük/büyük" gibi ifadeler varsa, bulduğunuz EKOK veya EBOB'un katlarını/bölenlerini bu sınırlamalar içinde arayın.

Unutmayın, bol pratik yapmak ve farklı soru tiplerini görmek bu konuda uzmanlaşmanın anahtarıdır. Başarılar dilerim! ✨