🎓 9. Sınıf Ebob - Ekok Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 9. sınıf öğrencilerinin En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) konularındaki temel kavramları, hesaplama yöntemlerini, önemli özelliklerini ve problem çözme stratejilerini pekiştirmesi için hazırlanmıştır. Testteki sorular, sayıların ortak bölen ve katlarını bulma, aralarında asal sayılar, EBOB-EKOK ilişkisi, kalanlı bölme problemleri ve EBOB-EKOK'un minimum/maksimum değer problemlerinde kullanımını kapsamaktadır. Bu notlar, sınav öncesi hızlı bir tekrar ve kritik bilgileri hatırlama amacıyla tasarlanmıştır. 🧠

1. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Nedir?

• İki veya daha fazla sayıyı tam bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
• Örnek: 12 ve 18 sayılarının bölenleri:
  12'nin bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
  18'in bölenleri: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
  Ortak bölenler: {1, 2, 3, 6}. En büyüğü 6'dır. Yani EBOB(12, 18) = 6.
• 💡 İpucu: EBOB, verilen sayılardan küçük veya en fazla en küçük sayıya eşit olur. Genellikle "bölme", "ayırma", "parçalama", "eşit parçalara ayırma" gibi ifadeler içeren problemlerde EBOB kullanılır.
• 💡 Günlük Hayattan EBOB Örneği: Bir terzi, 60 cm ve 90 cm uzunluğundaki iki farklı kumaş parçasını, hiç artmayacak şekilde eşit ve en büyük boyda parçalara ayırmak istiyorsa, her bir parçanın uzunluğu EBOB(60, 90) = 30 cm olmalıdır.

2. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir?

• İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif tam sayıdır.
• Örnek: 6 ve 8 sayılarının katları:
  6'nın katları: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}
  8'in katları: {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}
  Ortak katlar: {24, 48, 72, ...}. En küçüğü 24'tür. Yani EKOK(6, 8) = 24.
• 💡 İpucu: EKOK, verilen sayılardan büyük veya en fazla en büyük sayıya eşit olur. Genellikle "birleştirme", "buluşturma", "aynı anda tekrar etme", "ortak zaman" gibi ifadeler içeren problemlerde EKOK kullanılır.
• 💡 Günlük Hayattan EKOK Örneği: İki otobüs durağından biri 15 dakikada bir, diğeri 20 dakikada bir geçiyorsa, aynı anda duraktan hareket ettikten sonra tekrar ne zaman aynı anda geçeceklerini bulmak için EKOK(15, 20) = 60 dakika (1 saat) hesaplanır.

3. EBOB ve EKOK Hesaplama Yöntemleri (Asal Çarpanlara Ayırma) 🚀

• Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılarak EBOB bulunur. Tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar çarpılarak EKOK bulunur.
• Örnek: 12 ve 18 için:
  $12 = 2^2 \cdot 3^1$
  $18 = 2^1 \cdot 3^2$
  EBOB(12, 18) = $2^1 \cdot 3^1$ = 6 (Ortak olanlardan üssü küçük olanlar)
  EKOK(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2$ = 4 $\cdot$ 9 = 36 (Tüm farklı asal çarpanlardan üssü büyük olanlar)
• ⚠️ Dikkat: Asal çarpanlara ayırma yönteminde, EBOB için sadece ortak olan asal çarpanlara bakılırken, EKOK için tüm farklı asal çarpanlara bakılır.

4. EBOB ve EKOK'un Kritik Özellikleri ve Formüller 🎯

• İki Sayının Çarpımı = EBOB x EKOK: İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
  Yani, $a \cdot b = EBOB(a, b) \cdot EKOK(a, b)$. Bu formül sadece iki sayı için geçerlidir! Üç veya daha fazla sayı için genellikle geçerli değildir.
• Aralarında Asal Sayılar: EBOB'ları 1 olan sayılara "aralarında asal sayılar" denir.
  Örneğin, 4 ve 9 aralarında asaldır çünkü EBOB(4, 9) = 1'dir.
  Bu durumda, EKOK(a, b) = $a \cdot b$ olur.
  Yani, aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. EBOB'ları ise her zaman 1'dir.
• Ortak Katlar Kümesi: İki sayının ortak katlarının kümesi, bu sayıların EKOK'unun pozitif tam katlarından oluşur.
  Örneğin, EKOK(6, 8) = 24 ise, 6 ve 8'in ortak katları {24, 48, 72, ...} kümesidir.
• Bölme ve Kat İlişkisi: Eğer a sayısı b sayısının bir katı ise (b | a), o zaman EBOB(a, b) = b ve EKOK(a, b) = a olur.
  Örneğin, 24 ve 8 için, 24, 8'in bir katıdır. EBOB(24, 8) = 8 ve EKOK(24, 8) = 24.
• ⚠️ Dikkat: $EKOK(a,b)=d$ ise $a^2$ sayısı $d^2$ sayısını daima tam böler gibi ifadeler her zaman doğru değildir. $a$ sayısı $d$ sayısını böler, ancak $a^2$ için bu genelleme yapılamaz. Örneğin, $EKOK(2,3)=6$. $2^2=4$, $6^2=36$. 4 sayısı 36'yı böler. Ama $EKOK(4,6)=12$. $4^2=16$, $12^2=144$. 16 sayısı 144'ü böler. Bu örneklerde doğru gibi görünse de, $EKOK(a,b)=d$ ise $a$ sayısı $d$'yi böler, $b$ sayısı $d$'yi böler. Ancak $a^2$ sayısı $d^2$'yi daima bölmeyebilir. Örneğin, $a=2$, $b=4$ için $EKOK(2,4)=4$. $a^2=4$, $d^2=16$. 4 böler 16'yı. Peki ya $a=6, b=10$? $EKOK(6,10)=30$. $a^2=36$, $d^2=900$. 36 böler 900'ü. Bu ifade genelde doğru gibi duruyor, ancak soru 2'deki "daima doğrudur" ifadesi kritik. $a$ ve $b$ asal ise $d=a \cdot b$ olduğundan $a^2$ sayısı $(a \cdot b)^2$ sayısını böler. Ancak $a$ ve $b$ asal değilse, örneğin $a=2, b=3$ için $d=6$. $a^2=4, d^2=36$. 4 böler 36'yı. Eğer $a=12, b=18$ ise $d=36$. $a^2=144, d^2=1296$. 144 böler 1296'yı. Bu ifade aslında doğru gibi görünüyor. Soru 2'deki ifadenin yanlış olma sebebi, $a^2$ sayısının $d^2$ sayısını tam bölmesi değil, $a^2$ sayısının $d$ sayısını tam bölmesi olarak algılanmış olabilir. İfade $a^2$ sayısının $d^2$ sayısını tam böler ise bu doğrudur çünkü $a|d$ olduğundan $a^2|d^2$ olur. Demek ki Soru 2'deki I. madde doğruymuş. II. madde ise $b^2$ sayısının $d$ sayısını tam böler diyor, bu kesinlikle yanlış. $b$ böler $d$'yi ama $b^2$ bölemez. Örneğin $b=2, d=6$. $2^2=4$, 4 bölemez 6'yı. Bu yüzden II. madde yanlıştır.

5. EBOB ve EKOK Problemlerinde Çözüm Stratejileri 🧩

• Kalanlı Bölme Problemleri (K+c Tipi):
  • Aynı Kalanı Veren Sayılar: Bir K sayısının farklı sayılara bölündüğünde aynı kalanı ($k$) vermesi durumunda, $K = EKOK(x, y, z) \cdot m + k$ şeklinde ifade edilir. Burada $m$ bir pozitif tam sayıdır. En küçük K değeri için $m=1$ alınır.
    Örnek: Bir sepetteki güller 3'er 3'er sayıldığında 1, 5'er 5'er sayıldığında 1 gül artıyorsa, sepetteki gül sayısı $EKOK(3,5) \cdot m + 1$ şeklindedir.
  • Farkı Sabit Olan Sayılar: Bir K sayısının farklı sayılara bölündüğünde farklı kalanlar vermesi, ancak bölen ile kalan arasındaki farkın sabit olması durumunda ($x-k_1 = y-k_2 = z-k_3 = c$), $K+c = EKOK(x, y, z) \cdot m$ şeklinde ifade edilir. Buradaki $c$ sabit farktır. K sayısını bulmak için $K = EKOK(x, y, z) \cdot m - c$ formülü kullanılır.
    Örnek: Bir sayı 2'ye bölündüğünde 1, 3'e bölündüğünde 2, 5'e bölündüğünde 4 kalanını veriyorsa, bölen-kalan farkı hep 1'dir. ($2-1=1$, $3-2=1$, $5-4=1$). Bu durumda sayıya 1 eklersek 2, 3 ve 5'e tam bölünür. Yani $Sayı+1 = EKOK(2,3,5) \cdot m$.
  • Bölünen ve Kalan İlişkisi: Eğer bir $ab$ sayısı 20'ye bölündüğünde $cd$ kalanını veriyorsa, $ab = 20 \cdot k + cd$ demektir. Eğer aynı $ab$ sayısı 30'a bölündüğünde de aynı $cd$ kalanını veriyorsa, $ab = 30 \cdot m + cd$ demektir. Bu durumda $ab - cd$ sayısı hem 20'nin hem de 30'un ortak katı olmak zorundadır. Yani $ab - cd = EKOK(20, 30) \cdot n$.
• En Küçük/En Büyük Değer Problemleri:
  • EKOK'u verilen sayıların toplamının en az olması isteniyorsa, sayılar EKOK'un çarpanları olmalı ve mümkün olduğunca birbirine yakın, hatta eşit (farklı denmiyorsa) seçilmelidir. Sayılar EKOK'un bölenleri olmalıdır.
  • EKOK'u verilen sayıların toplamının en çok olması isteniyorsa, sayılardan biri EKOK'un kendisine eşit seçilir. Diğer sayılar ise EKOK'un bölenleri olacak şekilde ve birbirinden farklı olacak şekilde seçilir. Genellikle diğer sayılar EKOK'un en büyük çarpanları arasından seçilir.
  • EBOB'u verilen sayıların toplamının en küçük olması isteniyorsa, sayılar EBOB'un katları olmalı ve aralarında asal olacak şekilde en küçük katlar seçilmelidir. Örneğin, $EBOB(a,b)=x$ ise $a=x \cdot k$, $b=x \cdot m$ (k, m aralarında asal ve birbirinden farklı). En küçük toplam için $k=1, m=2$ seçilebilir.

6. Genel İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar ⚠️

• Soruyu Anlama: Problemin EBOB mu yoksa EKOK mu gerektirdiğini iyi analiz et. "Parçalama, bölme, ayırma" EBOB'a, "birleştirme, buluşturma, tekrar etme" EKOK'a işaret eder.
• Sayıların Farklı Olması Koşulu: Problemlerde "birbirinden farklı" ifadesine dikkat et. Bu, sayıları seçerken aynı sayıyı iki kez kullanamayacağın anlamına gelir.
• Pozitif Tam Sayı/Doğal Sayı: Sayıların hangi kümeden (pozitif tam sayı, doğal sayı vb.) olduğunu kontrol et. Bu, alabilecekleri en küçük veya en büyük değerleri etkiler. Doğal sayılar kümesi 0'ı içerirken, pozitif tam sayılar 0'ı içermez.
• Aralarında Asallık Şartı: EBOB(a, b) = 1 ise, EKOK(a, b) = a $\cdot$ b olduğunu unutma. Bu, birçok problemi hızlandırır.
• Deneme ve Yanılma: Özellikle en küçük/en büyük değer problemlerinde, bazen küçük sayılarla deneme yaparak veya asal çarpanları kullanarak olası değerleri bulmak gerekebilir.
• Formülleri Doğru Kullanma: $a \cdot b = EBOB(a, b) \cdot EKOK(a, b)$ formülünün sadece iki sayı için geçerli olduğunu hatırla. Üç veya daha fazla sayı için bu formül genellikle geçerli değildir. Üç sayının EBOB ve EKOK'u için asal çarpanlara ayırma yöntemi daha güvenilirdir.