Verilen bilgilere göre, a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

• EBOB(a, b) = 4

Bu koşul, a ve b sayılarının her ikisinin de 4'ün katı olması gerektiğini ifade eder. Ayrıca, a ve b birbirinden farklıdır.

• EKOK(b, c) = 12

Bu koşul, b ve c sayılarının her ikisinin de 12'nin bir böleni olması gerektiğini ifade eder. Ayrıca, b ve c birbirinden farklıdır.

Şimdi b sayısı için ortak koşulları inceleyelim:

• b, 4'ün katı olmalı (EBOB koşulundan).
• b, 12'nin bir böleni olmalı (EKOK koşulundan).

Bu iki koşulu sağlayan pozitif tam sayılar b=4 ve b=12'dir. Toplamın en küçük değerini bulmak için b'nin en küçük olası değerini tercih etmeliyiz.

Durum 1: b = 4

• EBOB(a, 4) = 4: a, 4'ün bir katı olmalı ve a \neq b (yani a \neq 4). a için en küçük değer a=8 olur.
• EKOK(4, c) = 12: c, 12'nin bir böleni olmalı ve EKOK(4, c) = 12 koşulunu sağlamalı. Ayrıca c \neq b (yani c \neq 4) ve c \neq a (yani c \neq 8) olmalı.
  • 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • EKOK(4, 1) = 4 \neq 12
  • EKOK(4, 2) = 4 \neq 12
  • EKOK(4, 3) = 12. Bu değer uygundur. c=3, a=8 ve b=4'ten farklıdır.
  • EKOK(4, 6) = 12. Bu değer de uygundur. c=6, a=8 ve b=4'ten farklıdır.
  • EKOK(4, 12) = 12. Bu değer de uygundur. c=12, a=8 ve b=4'ten farklıdır.

a+b+c toplamının en küçük olması için a ve c'yi mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz. Bu durumda:

• a = 8
• b = 4
• c = 3 (EKOK(4,3)=12 koşulunu sağlayan en küçük ve diğerlerinden farklı değer)

Bu durumda a+b+c = 8+4+3 = 15.

Durum 2: b = 12

• EBOB(a, 12) = 4: a, 4'ün bir katı olmalı, ancak 12'nin bir katı olmamalı (çünkü EBOB 4, 12 değil). Ayrıca a \neq b (yani a \neq 12). a için en küçük değer a=4 olur. (EBOB(4,12)=4).
• EKOK(12, c) = 12: c, 12'nin bir böleni olmalı. Ayrıca c \neq b (yani c \neq 12) ve c \neq a (yani c \neq 4) olmalı.
  • 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • c=1, a=4 ve b=12'den farklıdır.
  • c=2, a=4 ve b=12'den farklıdır.
  • c=3, a=4 ve b=12'den farklıdır.
  • c=6, a=4 ve b=12'den farklıdır.

Bu durumda a+b+c toplamının en küçük olması için a ve c'yi mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz. Bu durumda:

• a = 4
• b = 12
• c = 1 (EKOK(12,1)=12 koşulunu sağlayan en küçük ve diğerlerinden farklı değer)

Bu durumda a+b+c = 4+12+1 = 17.

İki durumu karşılaştırdığımızda, en küçük toplam değeri 15'tir.

Cevap E seçeneğidir.