9. Sınıf Ebob - Ekok Test 3

Soru 11 / 11

Bu ders notu, 9. sınıf matematik müfredatında yer alan En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) konularını kapsamaktadır. Sayıların ortak bölenlerini bulmaktan, asal çarpanlara ayrılmış hallerinden EBOB ve EKOK hesaplamaya, bu kavramların temel özelliklerine ve problem çözme stratejilerine kadar geniş bir yelpazede bilgi ve ipuçları sunulmaktadır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınızı yapmanız için özenle hazırlanmıştır.

1. Bölenler, Katlar ve Asal Çarpanlar 🔢

Bölen (Çarpan): Bir sayıyı kalansız olarak bölebilen her doğal sayıya o sayının böleni denir. Örneğin, 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
Kat: Bir sayının kendisiyle veya başka bir doğal sayıyla çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının katları denir. Örneğin, 5'in katları: 5, 10, 15, 20...
Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılardır. (2, 3, 5, 7, 11, ...)
Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Örneğin, \(24 = 2^3 \cdot 3^1\).

2. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Nedir? 🤔

Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyük olana bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. Diğer adı Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB)'dir.

EBOB Hesaplama Yöntemleri 🛠️

Ortak Bölenleri Listeleme: Sayıların tüm bölenleri bulunur, ortak olanlar belirlenir ve aralarındaki en büyüğü seçilir.
Örnek: 40 ve 24 sayılarının bölenleri:
40: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Ortak bölenler: {1, 2, 4, 8}. En büyüğü 8'dir. Dolayısıyla EBOB(40, 24) = 8.
Asal Çarpan Algoritması (Çizgi Yöntemi): Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlanarak her ikisini de bölen asal sayılar işaretlenir. İşaretlenen asal sayıların çarpımı EBOB'u verir.
Örnek: 40 ve 24 için:
40  24 | 2 (İşaretle ✅)
20  12 | 2 (İşaretle ✅)
10   6 | 2 (İşaretle ✅)
5    3 | 3
5    1 | 5
1    1 |
EBOB(40, 24) = \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8\).
Asal Çarpanlara Ayrılmış Sayılarda EBOB: Sayılar asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilmişse, ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar seçilerek çarpılır.
Örnek: \(x = 2^4 \cdot 3^1\) ve \(y = 2^3 \cdot 3^2\)
Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
2'nin en küçük üssü \(2^3\)
3'ün en küçük üssü \(3^1\)
EBOB(x, y) = \(2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24\).
⚠️ Dikkat: EBOB hesaplarken ortak asal çarpanların en küçük üslerini almayı unutma!

3. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir? 🚀

Tanım: İki veya daha fazla sayının pozitif ortak katları arasında en küçük olana bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir. Diğer adı Ortak Katların En Küçüğü (OKEK)'dir.

EKOK Hesaplama Yöntemleri 📈

Katları Listeleme: Sayıların katları bulunur, ortak olanlar belirlenir ve aralarındaki en küçüğü seçilir.
Asal Çarpan Algoritması (Çizgi Yöntemi): Sayılar yan yana yazılır ve tüm asal bölenler çarpılır. (EBOB'dan farklı olarak, tüm asal bölenler çarpılır, işaretleme yapılmaz.)
Örnek: 40 ve 24 için:
40  24 | 2
20  12 | 2
10   6 | 2
5    3 | 3
5    1 | 5
1    1 |
EKOK(40, 24) = \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120\).
Asal Çarpanlara Ayrılmış Sayılarda EKOK: Sayılar asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilmişse, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar seçilerek çarpılır. Ortak olmayan asal çarpanlar da EKOK'a dahil edilir.
Örnek: \(x = 2^4 \cdot 3^1\) ve \(y = 2^3 \cdot 3^2\)
Tüm asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
2'nin en büyük üssü \(2^4\)
3'ün en büyük üssü \(3^2\)
EKOK(x, y) = \(2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144\).
⚠️ Dikkat: EKOK hesaplarken tüm asal çarpanların en büyük üslerini almayı unutma!

4. EBOB ve EKOK'un Temel Özellikleri ve İlişkileri 🔗

İki Sayının Çarpımı ile EBOB ve EKOK İlişkisi: İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
\(A \cdot B = EBOB(A, B) \cdot EKOK(A, B)\)

Örnek: EBOB(40, 24) = 8, EKOK(40, 24) = 120.
\(40 \cdot 24 = 960\)
\(8 \cdot 120 = 960\). Görüldüğü gibi eşitlik sağlanır.
Aralarında Asal Sayılar: EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir.
Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. \(EBOB(a, b) = 1\).

Aralarında asal iki sayının EKOK'u daima bu sayıların çarpımına eşittir. \(EKOK(a, b) = a \cdot b\).

Örnek: 5 ve 7 aralarında asaldır. EBOB(5, 7) = 1, EKOK(5, 7) = \(5 \cdot 7 = 35\).
Ardışık Sayılar: Ardışık iki pozitif tam sayı daima aralarında asaldır.
Bu nedenle, ardışık iki pozitif tam sayının EBOB'u 1'dir. \(EBOB(n, n+1) = 1\).

Ardışık iki pozitif tam sayının EKOK'u bu sayıların çarpımına eşittir. \(EKOK(n, n+1) = n \cdot (n+1)\).
Sayılar Birbirinin Katı İse: Eğer A sayısı B sayısının bir katı ise (yani B | A), o zaman:
EBOB(A, B) = B (Küçük sayı)

EKOK(A, B) = A (Büyük sayı)

Örnek: EBOB(12, 4) = 4, EKOK(12, 4) = 12.
EBOB'un Diğer Özellikleri:
\(EBOB(a, b) = EBOB(a, a-b)\) veya \(EBOB(a, b) = EBOB(a-b, b)\). Bu özellik, sayıları küçültmek için kullanılabilir.

Örnek: EBOB(10, 150) = EBOB(10, 150-10) = EBOB(10, 140) = 10.

5. EBOB ve EKOK ile Problem Çözme İpuçları 🧩

Verilen EBOB veya EKOK ile Sayıları Bulma:
Eğer \(EBOB(A, B) = E\) ise, A ve B sayıları \(A = E \cdot k\) ve \(B = E \cdot m\) şeklinde yazılabilir. Burada k ve m, aralarında asal pozitif tam sayılardır.

Bu durumda \(EKOK(A, B) = E \cdot k \cdot m\) olur.

Örnek: EBOB(A, B) = 10 ve A+B=60 ise, \(A=10k\), \(B=10m\) ve k ile m aralarında asaldır.
\(10k + 10m = 60 \Rightarrow 10(k+m) = 60 \Rightarrow k+m = 6\).
k ve m aralarında asal ve toplamları 6 olan ikililer: (1, 5) ve (5, 1).
Eğer (k,m) = (1,5) ise A=10, B=50.
Eğer (k,m) = (5,1) ise A=50, B=10.
A'nın alabileceği farklı değerler 10 ve 50'dir.
En Küçük/En Büyük Değer Soruları:
EBOB sorularında genellikle "parçalama", "ayırma", "eşit bölme", "kare/küp yapma" gibi ifadeler geçer ve en büyük değeri bulmak istenir. Örneğin, bir tarlayı eşit büyüklükte kare parsellere ayırma.

EKOK sorularında genellikle "birleştirme", "bir araya getirme", "ortak buluşma", "en küçük ortak kat" gibi ifadeler geçer ve en küçük değeri bulmak istenir. Örneğin, otobüslerin aynı anda tekrar kalkması, zillerin birlikte çalması.

Verilen bir EKOK değeri için bir sayının alabileceği en küçük değeri bulurken, EKOK'un çarpanlarına dikkat edilir. Örneğin, \(EKOK(A, 10) = 50\) ise, A sayısı 50'nin bir böleni olmalı ve 10 ile 50'nin EKOK'u 50 olmalıdır. A'nın alabileceği en küçük değer 50'nin asal çarpanları ve 10'un asal çarpanları dikkate alınarak bulunur. \(10 = 2 \cdot 5\), \(50 = 2 \cdot 5^2\). A sayısında \(5^2\) çarpanı mutlaka olmalı. A'nın en küçük değeri \(5^2 = 25\) olabilir. (EKOK(25, 10) = 50).
💡 İpucu: Problemlerde "en az", "en küçük" kelimeleri genellikle EKOK'u; "en çok", "en büyük" kelimeleri ise genellikle EBOB'u işaret eder.
⚠️ Dikkat: EBOB'u verilen sayılar için toplamın en küçük değerini bulurken, sayıların birbirinden farklı ve en küçük iki basamaklı (veya belirtilen aralıkta) olmasına dikkat et. Örneğin, EBOB(a, b, c) = 3 ise, a, b, c sayıları 3'ün katları olmalı ve aralarında 3'ten başka ortak bölen olmamalıdır. En küçük farklı iki basamaklı 3'ün katları 12, 15, 18'dir. Bu sayıların EBOB'u 3'tür. Toplamları \(12+15+18 = 45\).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Cevaplanan
Aktif
Boş